belajar matematika dasar SMA dari Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Turunan Fungsi Trigonometri. Turunan fungsi trigonometri ini adalah kelanjutan Calon guru belajar matematika dasar SMA dari Soal dan Pembahasan Matematika SMA Turunan Fungsi Trigonometri. Turunan fungsi trigonometri ini adalah kelanjutan atau pengembangan dari turunanan fungsi aljabar. Sama halnya dengan turunan fungsi aljabar bahwa untuk belajar matematika dasar turunan fungsi trigonometri, ada baiknya kita sudah sedikit paham tentang limit fungsi aljabar. Terkhusus lagi untuk belajar turunan fungsi trigonometri, kita juga sudah belajar limit fungsi trigonometri, karena ini adalah salah satu syarat perlu, agar lebih cepat dalam belajar turunan fungsi. Penerapan turunan fungsi trigonometri dalam kehidupan sehari-hari sangat banyak, diantaranya menemukan nilai maksimum atau minimum. Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada turunan fungsi trigonometri bukanlah hal sulit, jika kita mau mengikuti step by step yang kita diskusikan pada alternatif pembahasan soal dibawah ini, maka kita akan bisa memahami soal-soal turunan fungsi trigonometri. Turunan diferensial dari sebuah fungsi $f$ adalah fungsi yang dituliskan $f'$ dibaca"f aksen". Jika sebuah fungsi dengan variabel $x$ dituliskan $fx$ maka turunan pertama fungsi tersebut adalah $f'x$, didefinisikan $f'x=\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{fx+h-fx}{h}$ dengan catatan bahwa nilai limit ini ada. Jika $f'x$ bisa diperoleh $f$ dikatakan dapat diturunakan diferentiable. Selain bentuk $f'x$ dibaca"f aksen x", bentuk lain yang umum dipakai pada penulisan turunan fungsi $y=fx$ adalah $y'$ atau $D_{x}fx$ atau $\dfrac{dy}{dx}$ atau $\dfrac{d \leftfx\right}{dx}$. ATURAN TURUNAN FUNGSI Dari definisi turunan fungsi di atas, diperoleh beberapa aturan dasar turunan fungsi yang dapat digunakan pada turunan fungsi aljabar atau turunan fungsi trigonometri, antara lain Jika $fx=k$ kkonstanta maka $f'x=0$ Jika $fx=x$ maka $f'x=1$ Jika $fx= kx^{n}$ maka $f'x=knx^{n-1}$ Jika $fx= k \cdot ux$ maka $f'x=k \cdot u'x$ Jika $fx=ux+vx$ maka $f'x=u'x + v'x$ Jika $fx=ux - vx$ maka $f'x=u'x - v'x$ Jika $fx=ux \cdot vx$ maka $f'x=u'x \cdot vx+ux \cdot v'x$ Jika $fx=\dfrac{ux}{vx}$ maka $f'x=\dfrac{u'x \cdot vx-ux \cdot v'x}{v^{2}x}$ Jika $fx= u^{n}x$ maka $f'x=n \cdot u^{n-1}x \cdot u'x$ Jika $fx= \left ux \right $ maka $f'x=\dfrac{ux}{\left ux \right } \cdot u'x,\ \ u\neq 0 $ Jika $fx= ln\ ux$ maka $f'x=\dfrac{u'x}{ux}$ Jika $fx=e^{ux}$ maka $f'x=u'x \cdot e^{ux}$ Jika $fx=log_{a}ux$ maka $f'x= \dfrac{u'x}{ln\ a \cdot ux}$ Jika $fx=a^{ux}$ maka $f'x=a^{ux} \cdot u'x \cdot ln\ a$ ATURAN TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRIDari definisi turunan fungsi, selain beberapa aturan pada turunan fungsi di atas, khusus untuk turunan fungsi trigonometri diperoleh beberapa aturan dasar turunan fungsi, yaitu Jika $fx=sin\ ux$ maka $f'x=u'x \cdot cos\ ux$ Jika $fx=cos\ ux$ maka $f'x=-u'x \cdot sin\ ux$ Jika $fx= tan\ ux$ maka $f'x=u'x \cdot sec^{2}\ ux$ Jika $fx= cot\ ux$ maka $f'x=-u'x \cdot csc^2\ ux$ Jika $fx= sec\ ux$ maka $f'x=u'x \cdot sec\ ux\ tan\ ux$ Jika $fx=csc\ ux$ maka $f'x=-u'x \cdot csc\ ux\ cot\ ux$ Jika $fx=arcsin\ ux$ maka $f'x=\dfrac{u'x}{\sqrt{1-u^{2}x}}$ Jika $fx=arccos\ ux$ maka $f'x=\dfrac{-u'x}{\sqrt{1-u^{2}x}}$ Jika $fx=arctan\ ux$ maka $f'x=\dfrac{u'x}{1+u^{2}x}$ Jika $fx=arccot\ ux$ maka $f'x=\dfrac{-u'x}{1+u^{2}x}$ Jika $fx=arcsec\ ux$ maka $f'x=\dfrac{u'x}{ux \sqrt{u^{2}x-1}}$ Jika $fx=arccsc\ ux$ maka $f'x=\dfrac{-u'x}{ux \sqrt{u^{2}x-1}}$ Jika $fx=sinh\ ux$ maka $f'x= u'x \cdot cosh\ ux$ Jika $fx=cosh\ ux$ maka $f'x=-u'x \cdot sinh\ ux$ Jika $fx=tanh\ ux$ maka $f'x=u'x \cdot sech^{2}\ ux$ Jika $fx=coth\ ux$ maka $f'x=-u'x \cdot csch^2\ ux$ Jika $fx=sech\ ux$ maka $f'x=-u'x \cdot sech\ ux\ tanh\ ux$ Jika $fx=csch\ ux$ maka $f'x=-u'x \cdot csch\ ux\ coth\ ux$ Jika $fx=sinh^{-1}\ ux$ maka $f'x=\dfrac{u'x}{\sqrt{u^{2}x+1}}$ Jika $fx=cosh^{-1}\ ux$ maka $f'x=\dfrac{u'x}{\sqrt{u^{2}x-1}}$ Jika $fx=tanh^{-1}\ ux$ maka $f'x=\dfrac{u'x}{1-u^{2}x}$ Jika $fx=coth^{-1}\ ux$ maka $f'x=\dfrac{u'x}{1-u^{2}x}$ Jika $fx=sech^{-1}\ ux$ maka $f'x=\dfrac{-u'x}{ux\sqrt{1-u^{2}x}}$ Jika $fx=csch^{-1}\ ux$ maka $f'x=\dfrac{-u'x}{ux \sqrt{1+u^{2}x}}$ MENENTUKAN GRADIEN GARIS SINGGUNG KURVA Jika kurva $y=fx$ disinggung oleh garis $g$ dititik $x_{1},y_{1}$, gradien garis singgung $g$ adalah $m=f'x_{1}$ dan persamaan garis singgung $g$ adalah $y-y_{1}=mx-x_{1}$. FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN Jika $f'x \gt 0$ maka fungsi $y=fx$ naik atau sebaliknya jika $y=fx$ naik maka $f'x \gt 0$ Jika $f'x \lt 0$ maka fungsi $y=fx$ turun atau sebaliknya jika $y=fx$ turun maka $f'x \lt 0$ NILAI MAKSIMUM atau NILAI MINIMUMNilai maksimum atau minimum suatu fungsi $fx$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua. Jika $x=a$ pada $f'a=0$ sehingga $f''a \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $fx$ minimum atau nilai minimum $fx$ adalah $fa$. Jika $x=a$ pada $f'a=0$ sehingga $f''a \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $fx$ maskimum atau nilai maksimum $fx$ adalah $fa$. Soal dan Pembahasan Matematika SMA Turunan Fungsi Trigonometri Untuk memantapkan beberapa aturan dasar turunan fungsi trigonometri di atas, mari kita coba beberapa soal latihan yang kita pilih secara acak dari soal-soal Ujian Nasional atau seleksi masuk perguruan tinggi negeri atau sekolah kedinasan😊. 1. Soal UMPTN 1992 Rayon A *Soal LengkapDiketahui fungsi $fx=\dfrac{2+cos\ x}{sin\ x}$. Garis singgung grafiknya pada $x=\dfrac{\pi}{2}$ memotong sumbu $y$ di titik $x=\left 0,b \right$. Nilai $b$ adalah... $\begin{align} A\ & 2 \\ B\ & \dfrac{\pi}{2} \\ C\ & -2+\dfrac{\pi}{2} \\ D\ & 2-\dfrac{\pi}{2} \\ E\ & 2+\dfrac{\pi}{2} \end{align}$ Alternatif PembahasanUntuk kita ingat bahwa jika $y=sin\ x$ maka $y'=cos\ x$ dan $y=cos\ x$ maka $y'=-sin\ x$. Untuk $x=\dfrac{\pi}{2}=90^{\circ}$ pada $fx=\dfrac{2+cos\ x}{sin\ x}$ maka kita peroleh $\begin{align} y &=\dfrac{2+cos\ x}{sin\ x} \\ &=\dfrac{2+cos\ 90^{\circ}}{sin\ 90^{\circ}} \\ &=\dfrac{2+0}{1}=2 \\ \hline x,y &= \left 90^{\circ},2 \right \end{align}$ Gradien garis singgung di sebuah titik dapat kita tentukan dengan menggunakan turunan pertama yaitu $m=f'x$, sehingga saat $x=\dfrac{\pi}{2}=90^{\circ}$ kita peroleh $\begin{align} fx\ &= \dfrac{2+cos\ x}{sin\ x} \\ \hline fx\ &= \dfrac{u}{v}\ \rightarrow f'x = \dfrac{u' \cdot v-u \cdot v'}{v^{2}} \\ \hline m=f'x &= \dfrac{\left -sin\ x \right\leftsin\ x \right-\left 2+cos\ x \right\leftcos\ x \right}{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ -sin^{2} x -\left 2cos\ x+cos^{2} x \right}{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ -sin^{2} x -2cos\ x-cos^{2} x }{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ - \left sin^{2}+cos^{2} x \right -2cos\ x }{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ - 1 -2cos\ x }{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ - 1 -2cos\ 90^{\circ} }{sin^{2} 90^{\circ}} \\ &= \dfrac{ - 1 -2 0 }{1^{2}} \\ &= -1 \\ \end{align}$ Persaman garis untuk $m=-1$ pada $x,y= \left 90^{\circ},2 \right$ adalah $\begin{align} y-y_{1} &= m \left x-x_{1} \right \\ y-2 &= -1 \left x- 90^{\circ} \right \\ y-2 &= -x+ 90^{\circ} \\ y &= -x+2+ 90^{\circ} \end{align}$ Garis memotong sumbu $y$ di titik $\left 0,b \right$ sehingga $\begin{align} y &= -x+2+ 90^{\circ} \\ b &= -0+2+ 90^{\circ} \\ b &=2+ 90^{\circ} \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ 2+\dfrac{\pi}{2}$2. Soal UMPTN 1993 Rayon B *Soal LengkapJika $fx= - \left cos^{2}x-sin^{2}x \right$, maka $f'x$ adalah... $\begin{align} A\ & 2 \left cos\ x + sin\ x \right \\ B\ & 2 \left cos\ x - sin\ x \right \\ C\ & sin\ x\ cos\ x \\ D\ & 2\ sin\ x\ cos\ x \\ E\ & 4\ sin\ x\ cos\ x \end{align}$ Alternatif PembahasanUntuk menyelesaikan soal ini kita meminjam sifat dari identitas trigonometri yaitu $sin\ 2x=2\ sin\ x\ cos\ x$ dan $cos\ 2x=cos^{2}x-sin^{2}x$, sehingga berlaku $\begin{align} fx &= - \left cos^{2}x-sin^{2}x \right \\ &= - \left -2\ sin\ 2x \right \\ &= 2\ sin\ 2x \\ &= 2\ \cdot 2 sin\ x\ cos\ x \\ &= 4 sin\ x\ cos\ x \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ 4\ sin\ x\ cos\ x$3. Soal UMPTN 1993 Rayon B *Soal LengkapJika $y=3x^{4}+sin\ 2x +cos\ 3x$, maka $\dfrac{dy}{dx}=\cdots$ $\begin{align} A\ & 12x^{3}+2\ cos\ 2x +3\ sin\ 3x \\ B\ & 12x^{3}+ cos\ 2x - sin\ 3x \\ C\ & 12x^{3}-2\ cos\ 2x +3\ sin\ 3x \\ D\ & 12x^{3}-2\ cos\ 2x -3\ sin\ 3x \\ E\ & 12x^{3}+2\ cos\ 2x -3\ sin\ 3x \end{align}$ Alternatif Pembahasan$\begin{align} y &=3x^{4}+sin\ 2x +3\ cos\ 3x \\ \dfrac{dy}{dx} &=34x^{3}+2\ cos\ 2x -3\ sin\ 3x \\ &=12x^{3}+2\ cos\ 2x -3\ sin\ 3x \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ 12x^{3}+2\ cos\ 2x -3\ sin\ 3x$4. Soal UMPTN 1993 Rayon C *Soal LengkapJika $y=2\ sin\ 3x -3\ cos\ 2x$, maka $\dfrac{dy}{dx}=\cdots$ $\begin{align} A\ & 2\ cos\ 3x -3\ sin\ 2x \\ B\ & 6\ cos\ 3x -3\ sin\ 2x \\ C\ & 2\ cos\ 3x +3\ sin\ 2x \\ D\ & 6\ cos\ 3x +6\ sin\ 2x \\ E\ & -6\ cos\ 3x - 6\ sin\ 2x \\ \end{align}$ Alternatif Pembahasan$\begin{align} y &=2\ sin\ 3x -3\ cos\ 2x \\ \dfrac{dy}{dx} &=23\ cos\ 3x -3 \left-2\ sin\ 2x \right \\ &=6\ cos\ 3x +6 \ sin\ 2x \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ 12x^{3}+2cos\ 2x -3 sin\ 3x$5. Soal UMPTN 1999 Rayon A *Soal LengkapJika $fx=\dfrac{sin\ x+cos\ x}{sin\ x}$, $sin\ x \neq 0$ dan $f'x$ adalah turunan $fx$, maka $f' \left \dfrac{\pi}{2} \right $ $\begin{align} A\ & -2 \\ B\ & -1 \\ C\ & 0 \\ D\ & 1 \\ E\ & 2 \end{align}$ Alternatif Pembahasan$\begin{align} fx\ &= \dfrac{sin\ x+cos\ x}{sin\ x} \\ \hline fx\ &= \dfrac{u}{v}\ \rightarrow f'x = \dfrac{u' \cdot v-u \cdot v'}{v^{2}} \\ \hline f'x &= \dfrac{\left cos\ x - sin\ x \right\left sin\ x \right-\left sin\ x + cos\ x \right\left cos\ x \right}{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{cos\ x\ sin\ x - sin^{2} x- sin\ x\ cos\ x-cos^{2}x}{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ - sin^{2} x-cos^{2}x}{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ - \left sin^{2} x+cos^{2}x \right}{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ - 1}{sin^{2} x} \\ \hline f' \left \dfrac{\pi}{2} \right &= \dfrac{ - 1}{sin^{2} \left \dfrac{\pi}{2} \right} \\ &= \dfrac{ - 1}{1} = -1 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ -1$6. Soal UMPTN 1998 Rayon A *Soal LengkapJika $fx=a\ tan\ x +bx$, $f'\left \dfrac{\pi}{4} \right=3$ dan $f'\left \dfrac{\pi}{3} \right=9$, maka $a+b=\cdots$ ... $\begin{align} A\ & 0 \\ B\ & 1 \\ C\ & \dfrac{\pi}{2} \\ D\ & 2 \\ E\ & \pi \end{align}$ Alternatif PembahasanCatatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Turunan Fungsi yaitu jika $fx=tan\ x$ maka $f'x=sec^{2} x$. Apabila bentuk ini tidak ingat waktu ujian maka, hal yang paling mungkin kita lakukan adalah menurunkan $fx=tan\ x=\dfrac{sin\ x}{cos\ x}$ pakai aturan $y=\dfrac{u}{v}$ maka $y'=\dfrac{u' \cdot v+u \cdot v'}{v^{2}}$. $\begin{align} fx & = a\ tan\ x +bx \\ f'x & = a\ sec^{2} x +b \\ f'x & = \dfrac{a}{cos^{2} x} +b \\ \hline f'\left \dfrac{\pi}{4} \right & = \dfrac{a}{cos^{2} \left \dfrac{\pi}{4} \right} +b \\ 3 & = \dfrac{a}{cos^{2} \left 45^{\circ} \right} +b \\ 3 & = \dfrac{a}{\left \frac{1}{2}\sqrt{2} \right^{2}} +b \\ 3 & = \dfrac{a}{ \frac{1}{2}} +b \\ 3 & = 2a +b \\ \hline f'\left \dfrac{\pi}{3} \right & = \dfrac{a}{cos^{2} \left \dfrac{\pi}{3} \right} +b \\ 9 & = \dfrac{a}{cos^{2} \left 60^{\circ} \right} +b \\ 9 & = \dfrac{a}{\left \frac{1}{2} \right^{2}} +b \\ 9 & = \dfrac{a}{\frac{1}{4}} +b \\ 9 & = 4a +b \\ \end{align}$ Dengan mengeliminasi atau substitusi, kita peroleh $\begin{array}{cccc} 2a+b = 3 & \\ 4a+b = 9 & - \\ \hline 2a = 6 & \\ a = 3 & \\ b = -3 & \\ \hline a+b=0 \end{array} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai $A\ 0$7. Soal SPMB 2002 Regional I *Soal LengkapTurunan pertama dari $y=cos^{4}\ x$ adalah... $\begin{align} A\ & \dfrac{1}{4}\ cos^{3}x \\ B\ & -\dfrac{1}{4}\ cos^{3}x \\ C\ & \dfrac{1}{4}\ sin^{3}x \\ D\ & -4\ sin^{3}x cos\ x \\ E\ & -4\ cos^{3}x\ sin\ x \end{align}$ Alternatif PembahasanUntk menyelesaikan masalah di atas kita coba dengan pemisalan $\begin{align} u & = cos\ x \\ \dfrac{du}{dx} & = -sin\ x \\ \hline y & = cos^{4}\ x\\ y & = u^{4} \\ \dfrac{dy}{du} & = 4u^{3} \\ \hline \dfrac{dy}{dx} & = \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} \\ & = 4u^{3} \cdot \left -sin\ x \right \\ & = 4cos^{3}\ x \cdot \left -sin\ x \right \\ & = -4cos^{3}\ x \cdot sin\ x \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai $E\ -4\ cos^{3}\ x \cdot sin\ x$8. Soal UM STIS 2011 *Soal LengkapJika $fx=a\ tan\ x +bx$, $f'\left \dfrac{\pi}{4} \right=3$ dan $f'\left \dfrac{\pi}{3} \right=9$, maka $a+b=\cdots$ ... $\begin{align} A\ & 0 \\ B\ & 2 \\ C\ & \dfrac{24}{5} \\ D\ & 6 \\ E\ & \dfrac{39}{5} \end{align}$ Alternatif PembahasanCatatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Turunan Fungsi yaitu jika $fx=tan\ x$ maka $f'x=sec^{2} x$. Apabila bentuk ini tidak ingat waktu ujian maka, hal yang paling mungkin kita lakukan adalah menurunkan $fx=tan\ x=\dfrac{sin\ x}{cos\ x}$ pakai aturan $y=\dfrac{u}{v}$ maka $y'=\dfrac{u' \cdot v+u \cdot v'}{v^{2}}$. $\begin{align} fx & = a\ tan\ x +bx \\ f'x & = a\ sec^{2} x +b \\ f'x & = \dfrac{a}{cos^{2} x} +b \\ \hline f'\left \dfrac{\pi}{4} \right & = \dfrac{a}{cos^{2} \left \dfrac{\pi}{4} \right} +b \\ 3 & = \dfrac{a}{cos^{2} \left 45^{\circ} \right} +b \\ 3 & = \dfrac{a}{\left \frac{1}{2}\sqrt{2} \right^{2}} +b \\ 3 & = \dfrac{a}{ \frac{1}{2}} +b \\ 3 & = 2a +b \\ \hline f'\left \dfrac{\pi}{3} \right & = \dfrac{a}{cos^{2} \left \dfrac{\pi}{3} \right} +b \\ 9 & = \dfrac{a}{cos^{2} \left 60^{\circ} \right} +b \\ 9 & = \dfrac{a}{\left \frac{1}{2} \right^{2}} +b \\ 9 & = \dfrac{a}{\frac{1}{4}} +b \\ 9 & = 4a +b \\ \end{align}$ Dengan mengeliminasi atau substitusi, kita peroleh $\begin{array}{cccc} 2a+b = 3 & \\ 4a+b = 9 & - \\ \hline 2a = 6 & \\ a = 3 & \\ b = -3 & \\ \hline a+b=0 \end{array} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai $A\ 0$9. Soal SBMPTN 2017 Kode 106/124 *Soal LengkapJika $fx=sinsin^{2}x$, maka $f'x=\ldots$ $\begin{align} A\ & 2\ sin\ x \cdot cossin^{2}x \\ B\ & 2\ sin\ 2x \cdot cossin^{2}x \\ C\ & sin^{2}x \cdot cossin^{2}x \\ D\ & sin^{2}2x \cdot cossin^{2}x \\ E\ & sin\ 2x \cdot cossin^{2}x \end{align}$ Alternatif PembahasanUntuk mendapatkan turunan pertama dari fungsi di atas kita coba gunakan aturan rantai, yaitu $f'x = \dfrac{df}{dx} = \dfrac{df}{dv} \cdot \dfrac{dv}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}$ Soal$fx=sinsin^{2}x$ Misal $u=sin\ x$ $\Rightarrow \dfrac{du}{dx}=cos\ x$ Soal$fx=sinu^{2}$ Misal $v=u^{2}$ $\Rightarrow \dfrac{dv}{du}=2u$ Soal$fx=sinv$ $\Rightarrow \dfrac{df}{dv}=cosv$ $\begin{split} f'x = \dfrac{df}{dx} & = \dfrac{df}{dv} \cdot \dfrac{dv}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}\\ & =cosv \cdot 2u \cdot cos\ x\\ & =cosu^{2} \cdot 2sin\ x \cdot cos\ x\\ & =cossin^{2}x \cdot 2sin\ x \cdot cos\ x\\ & =cossin^{2}x \cdot sin\ 2x\\ & = sin\ 2x \cdot cossin^{2}x \end{split}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ sin\ 2x \cdot cossin^{2}x$ 10. Soal SBMPTN 2017 Kode 135 *Soal Lengkap Misalkan $fx=2\ tan \left\sqrt{sec\ x} \right$, maka $f'x\cdots$ $\begin{align} A\ & sec^{2} \left\sqrt{sec\ x} \right \cdot tan\ x \\ B\ & sec^{2}\left\sqrt{sec\ x} \right \cdot \sqrt{sec\ x} \cdot tan\ x \\ C\ & 2sec^{2}\left\sqrt{sec\ x} \right \cdot \sqrt{sec\ x} \cdot tan\ x \\ D\ & sec^{2}\left\sqrt{sec\ x} \right \cdot sec\ x \cdot tan\ x \\ E\ & 2sec^{2}\left\sqrt{sec\ x} \right \cdot sec\ x \cdot tan\ x \end{align}$ Alternatif Pembahasan Untuk mendapatkan turunan pertama dari fungsi di atas kita coba gunakan aturan rantai, yaitu $f'x = \dfrac{df}{dx} = \dfrac{df}{dv} \cdot \dfrac{dv}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}$ Soal$fx=2\ tan \left\sqrt{sec\ x} \right$ Misal $u=sec\ x$ $\Rightarrow \dfrac{du}{dx}=sec\ x\ \cdot \tan\ x$ Soal$fx=2\ tan \left\sqrt{u} \right$ Misal $v=\sqrt{u}$ $\Rightarrow \dfrac{dv}{du}=\dfrac{1}{2\sqrt{u}}$ Soal$fx=2\ tan \left v \right$ $\Rightarrow \dfrac{df}{dv}=2sec^{2}v$ $\begin{split} f'x = \dfrac{df}{dx} &= \dfrac{df}{dv} \cdot \dfrac{dv}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}\\ & =2sec^{2}v \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{u}} \cdot sec\ x\ \cdot \tan\ x \\ & =2sec^{2}\left \sqrt{u} \right \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{sec\ x}} \cdot sec\ x\ \cdot \tan\ x \\ & =sec^{2}\left \sqrt{sec\ x} \right \cdot \dfrac{1}{\sqrt{sec\ x}} \cdot sec\ x\ \cdot \tan\ x \\ & = sec^{2}\left \sqrt{sec\ x} \right \cdot \sqrt{sec\ x} \cdot \tan\ x \end{split}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ sec^{2}\left\sqrt{sec\ x} \right \cdot \sqrt{sec\ x} \cdot tan\ x$ 11. Soal SPMB 2005 Regional II *Soal Lengkap Turunan pertama dari fungsi $fx=\dfrac{1+cos\ x}{sin\ x}$ adalah $f'x=\cdots$ $\begin{align} A\ & \dfrac{1-sin\ x}{sin^{2}x} \\ B\ & \dfrac{ sin\ x-1}{cos\ x-1} \\ C\ & \dfrac{ 2}{cos\ x+1} \\ D\ & \dfrac{ 2}{sin\ x-1} \\ E\ & \dfrac{1}{cos\ x-1} \end{align}$ Alternatif Pembahasan $\begin{align} fx\ &= \dfrac{1+cos\ x}{sin\ x} \\ \hline & u\ = 1+cos\ x \rightarrow u'=-sin\ x \\ & v\ = sin\ x \rightarrow v'=cos\ x \\ \hline fx\ &= \dfrac{u}{v} \\ f'x &= \dfrac{u' \cdot v-u \cdot v'}{v^{2}} \\ f'x &= \dfrac{\left -sin\ x \right\left sin\ x \right-\left 1 + cos\ x \right\left cos\ x \right}{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ -sin^{2}\ x - cos\ x - cos^{2} x }{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ -\left sin^{2}\ x+cos^{2} x \right - cos\ x}{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ -1 - cos\ x}{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ - \left1 + cos\ x \right}{1-cos^{2} x} \\ &= \dfrac{ - \left1 + cos\ x \right}{\left1 + cos\ x \right\left1 - cos\ x \right} \\ &= \dfrac{ -1 }{ \left1 - cos\ x \right} \\ &= \dfrac{1}{cos\ x-1} \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ \dfrac{1}{cos\ x-1} $ 12. Soal SPMB 2005 Kode 772 Regional I *Soal Lengkap Jika fungsi $fx=sin\ ax + cos\ bx$ memenuhi $f'0=b$ dan $f'\left \frac{\pi}{2a} \right=-1$, maka $a+b=\cdots$ $\begin{align} A\ & -1 \\ B\ & 0 \\ C\ & 1 \\ D\ & 2 \\ E\ & 3 \end{align}$ Alternatif Pembahasan $\begin{align} fx\ &= sin\ ax + cos\ bx \\ f'x\ &= a\ cos\ ax -b\ sin\ bx \\ \hline f'0\ &= a\ cos\ 0 -b\ sin\ 0 \\ b\ &= a\ \cdot 1 -b\ \cdot 0 \\ b\ &= a \\ \hline f'\left \frac{\pi}{2a} \right\ &= a\ cos\ a\left \frac{\pi}{2a} \right -b\ sin\ b\left \frac{\pi}{2a} \right \\ -1\ &= a\ cos\ a\left \frac{\pi}{2a} \right -a\ sin\ a\left \frac{\pi}{2a} \right \\ -1\ &= a\ cos\ \left \frac{\pi}{2 } \right -a\ sin\ \left \frac{\pi}{2 } \right \\ -1\ &= a\ \cdot 0 -a\ \cdot 1 \\ -1\ &= -a \\ a\ &= 1\ \rightarrow b=1 \\ a+b\ &= 2 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $D\ 2$ 13. Soal SPMB 2005 Kode 520 Regional II *Soal Lengkap Jika $fx=sin\ x\ cos\ 3x$, maka $f'\left \frac{1}{6}\pi \right=\cdots$ $\begin{align} A\ & \dfrac{1}{2} \\ B\ & -\dfrac{1}{2} \\ C\ & -1\dfrac{1}{2} \\ D\ & -\dfrac{1}{2}+\sqrt{3} \\ E\ & -1\dfrac{1}{2}+\sqrt{3} \end{align}$ Alternatif Pembahasan $\begin{align} fx\ &= sin\ x\ cos\ 3x\\ \hline & u\ = sin\ x \rightarrow u'=cos\ x \\ & v\ = cos\ 3x \rightarrow v'=-3\ sin\ 3x \\ \hline \hline fx\ &= u \cdot v \\ f'x &= u' \cdot v + u \cdot v' \\ f'x &= cos\ x \cdot cos\ 3x + sin\ x \cdot -3\ sin\ 3x \\ &= cos\ x \cdot cos\ 3x -3 sin\ x \cdot sin\ 3x \\ \hline f'\left \frac{1}{6}\pi \right &= cos\ \left \frac{1}{6}\pi \right \cdot cos\ 3\left \frac{1}{6}\pi \right -3 sin\ \left \frac{1}{6}\pi \right \cdot sin\ 3\left \frac{1}{6}\pi \right \\ &= cos\ 30^{\circ} \cdot cos\ 90^{\circ} -3 sin\ 30^{\circ} \cdot sin\ 90^{\circ} \\ &= \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \cdot 0 -3 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 1 \\ &= 0 - \dfrac{3}{2} \\ &=- \dfrac{3}{2} \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ -1\dfrac{1}{2}$ 14. Soal SPMB 2005 Kode 171 Regional III *Soal Lengkap Turunan pertama dari fungsi $y= \left sin\ x\ + cos\ x \right^{2}$ adalah $y'=\cdots$ $\begin{align} A\ & 0 \\ B\ & 4\ sin^{2}x \\ C\ & 4\ sin^{2}x-2 \\ D\ & 4\ cos^{2}x-2 \\ E\ & 4\ cos^{2}x-4 \\ \end{align}$ Alternatif Pembahasan $\begin{align} fx\ &= \left sin\ x\ + cos\ x \right^{2} \\ &= sin^{2} x\ + cos^{2} x + 2\ sin\ x\ cos\ x \\ &= 1 + 2\ sin\ x\ cos\ x \\ &= 1 + sin\ 2x \\ f'x &= 2\ cos\ 2x \\ &= 2\ \left 2cos^{2}x-1 \right \\ &= 4\ cos^{2}x-2 \end{align}$ Alternatif yang lain dapat juga kita gunakan sifat turunan yaitu $\begin{align} fx\ &= \left sin\ x\ + cos\ x \right^{2} \\ f'x &= 2 \left sin\ x\ + cos\ x \right \left cos\ x\ - sin\ x \right \\ &= 2 \left cos^{2}\ x\ - sin^{2}\ x \right \\ &= 2 \left cos^{2}\ x\ - 1 +cos^{2}\ x \right \\ &= 2 \left 2cos^{2}\ x\ - 1 \right \\ &= 4\ cos^{2}x- 2 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $D\ 4\ cos^{2}x-2$ 15. Soal UM UGM 2005 Kode 821 *Soal Lengkap Jika $f\left x \right= \sqrt{1+sin^{2}x},\ 0 \leq x \leq \pi$, maka $f'\left x \right \cdot f\left x \right$ sama dengan... $\begin{align} A\ & \left 1+sin^{2}x \right sin\ x\ cos\ x \\ B\ & \left 1+sin^{2}x \right \\ C\ & sin\ x\ cos\ x \\ D\ & sin\ x \\ E\ & \dfrac{1}{2} \\ \end{align}$ Alternatif Pembahasan $\begin{align} f\left x \right\ &= \sqrt{1+sin^{2}x} \\ f\left x \right\ &= \left 1+sin^{2}x \right^{\frac{1}{2}} \\ f'\left x \right\ &= \frac{1}{2} \cdot \left 1+sin^{2}x \right^{-\frac{1}{2}} \cdot 2 \cdot sin\ x \cdot cos\ x \\ &= \dfrac{1}{\sqrt{1+sin^{2}x}} \cdot sin\ x \cdot cos\ x \\ &= \dfrac{sin\ x \cdot cos\ x}{\sqrt{1+sin^{2}x}} \\ \hline f'\left x \right \cdot f\left x \right &= \sqrt{1+sin^{2}x} \cdot \dfrac{sin\ x \cdot cos\ x}{\sqrt{1+sin^{2}x}} \\ &= sin\ x \cdot cos\ x \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ sin\ x\ cos\ x$ 16. Soal UM UGM 2005 Kode 621 *Soal Lengkap Diketahui $f\left x \right= x\ sin\ 3x$, maka $f'\left \frac{\pi}{4} \right$ sama dengan... $\begin{align} A\ & \dfrac{\sqrt{2}}{2} \left1+ \dfrac{3\pi}{4} \right\\ B\ & \dfrac{\sqrt{2}}{4} \left1+ \dfrac{3\pi}{4} \right\\ C\ & \dfrac{\sqrt{2}}{2} \left1- \dfrac{3\pi}{4} \right\\ D\ & \dfrac{\sqrt{2}}{2} \left \dfrac{3\pi}{4}-1 \right\\ E\ & \dfrac{-\sqrt{2}}{2} \left1+ \dfrac{3\pi}{4} \right \end{align}$ Alternatif Pembahasan $\begin{align} f\left x \right\ &= x\ sin\ 3x \\ \hline & u\ = x \rightarrow u'=1 \\ & v\ = sin\ 3x \rightarrow v'= 3\ cos\ 3x \\ \hline fx\ &= u \cdot v \\ f'x &= u' \cdot v + u \cdot v' \\ f'x &= 1 \cdot sin\ 3x + x \cdot 3\ cos\ 3x \\ &= sin\ 3x + 3x \cdot cos\ 3x \\ f'\left \frac{\pi}{4} \right &= sin\ 3\left \frac{\pi}{4} \right + 3\left \frac{\pi}{4} \right \cdot cos\ 3\left \frac{\pi}{4} \right \\ &= sin\ 135^{\circ} + 3\left \frac{\pi}{4} \right \cdot cos\ 135^{\circ} \\ &= \dfrac{\sqrt{2}}{2} + 3\left \frac{\pi}{4} \right \cdot \left -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right \\ &= \dfrac{\sqrt{2}}{2} - 3\left \frac{\pi}{4} \right \cdot \left \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right \\ &= \left \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right \left1 - 3 \cdot \frac{\pi}{4} \right \\ \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ \dfrac{\sqrt{2}}{2} \left1- \dfrac{3\pi}{4} \right$ 17. Soal UM UGM 2006 Kode 381 *Soal Lengkap Jika $f\left x \right= \dfrac{cos\ x -sin\ x}{cos\ x + sin\ x}$, dengan $cos\ x +sin x \neq 0$ maka $f'\left x \right=\cdots$ $\begin{align} A\ & 1- \left fx \right^{2}\\ B\ & -1+\left fx \right^{2}\\ C\ & - \left1+ \left fx \right^{2} \right \\ D\ & 1 + \left fx \right^{2}\\ E\ & \left fx \right^{2} \end{align}$ Alternatif Pembahasan $\begin{align} f\left x \right\ &= \dfrac{cos\ x -sin\ x}{cos\ x + sin\ x} \\ \hline & u\ = cos\ x -sin\ x \rightarrow u'=-sin\ x - cos\ x \\ & v\ = cos\ x + sin\ x \rightarrow v'= -sin\ x + cos\ x \\ \hline fx\ &= \dfrac{u}{v} \\ f'x &= \dfrac{u' \cdot v-u \cdot v'}{v^{2}} \\ f'x &= \dfrac{\left -sin\ x - cos\ x \right\left cos\ x + sin\ x \right-\left cos\ x -sin\ x \right\left -sin\ x + cos\ x \right}{\left cos\ x + sin\ x \right^{2} } \\ &= \dfrac{-\left sin\ x + cos\ x \right^{2} -\left cos\ x -sin\ x \right^{2}}{\left cos\ x + sin\ x \right^{2} } \\ &= \dfrac{-\left sin\ x + cos\ x \right^{2}}{\left cos\ x + sin\ x \right^{2}} - \dfrac{\left cos\ x -sin\ x \right^{2}}{\left cos\ x + sin\ x \right^{2} }\\ &= -1 - \dfrac{\left cos\ x -sin\ x \right^{2}}{\left cos\ x + sin\ x \right^{2} }\\ &= -1 - \left fx \right^{2} \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ - \left1+ \left fx \right^{2} \right$ 18. Soal UMPTN 1994 Rayon B *Soal Lengkap Jika $fx=x\ cos\ x$, maka $f'\leftx + \frac{\pi}{2} \right=\cdots$ $\begin{align} A\ & -sin\ x\ -x\ cos\ x + \frac{\pi}{2}\ cos\ x \\ B\ & -sin\ x\ -x\ cos\ x - \frac{\pi}{2}\ cos\ x \\ C\ & -sin\ x\ + x\ cos\ x - \frac{\pi}{2}\ cos\ x \\ D\ & -sin\ x\ + x\ cos\ x + \frac{\pi}{2}\ cos\ x \\ E\ & -cos\ x\ + x\ sin\ x + \frac{\pi}{2}\ cos\ x \end{align}$ Alternatif Pembahasan Untuk kita ingat bahwa $y=sin\ \left\frac{\pi}{2}+x \right=cos\ x$ dan $y=cos\ \left\frac{\pi}{2}+x \right=-sin\ x$. $\begin{align} fx &= x\ cos\ x \\ f\leftx + \frac{\pi}{2} \right &= \leftx + \frac{\pi}{2} \right\ cos\ \leftx + \frac{\pi}{2} \right \\ &= -\leftx + \frac{\pi}{2} \right\ sin\ x \\ \hline & u\ = -\leftx + \frac{\pi}{2} \right \rightarrow u'=-1 \\ & v\ = sin\ x \rightarrow v'= cos\ x \\ \hline fx\ &= u \cdot v \\ f'\leftx \right &= u' \cdot v + u \cdot v' \\ \hline f' \leftx + \frac{\pi}{2} \right &= -1 \cdot sin\ x -\leftx + \frac{\pi}{2} \right \cdot cos\ x \\ &= -sin\ x -\leftx + \frac{\pi}{2} \right \cdot cos\ x \\ &= -sin\ x - x\ cos\ x - \frac{\pi}{2}\ cos\ x \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ -sin\ x\ -x\ cos\ x - \frac{pi}{2}\ cos\ x$ 19. Soal UMPTN 2001 Rayon C *Soal Lengkap Garis $g$ menyinggung kurva $y=sin\ x + cos\ x$ di titik yang berabsis $\dfrac{1}{3}\pi$. Gradien garis yang tegak lurus pada garis $g$ adalah... $\begin{align} A\ & 1-\sqrt{3} \\ B\ & 1+\sqrt{3} \\ C\ & 1 \\ D\ & \dfrac{\sqrt{3}-1}{2} \\ E\ & \dfrac{1-\sqrt{3}}{2} \end{align}$ Alternatif Pembahasan Untuk kita ingat bahwa jika garis $g$ dan garis $l$ adalah dua buah garis saling tegak lurus maka perkalian gradiennnya adalah $-1$ atau dapat kita tuliskan $m_{g} \cdot m_{l}=-1$. $\begin{align} y &= sin\ x + cos\ x \\ y' &= cos\ x - sin\ x \\ \hline m_{x=\frac{1}{3}\pi} &= cos\ \frac{1}{3}\pi - sin\ \frac{1}{3}\pi \\ &= \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \end{align}$ Gradien garis yang tegak lurus dengan garis singgung $g$ bergradien $m_{g}=\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\sqrt{3}$ adalah $\begin{align} m_{g} \cdot m_{l} &= -1 \\ m_{l} &= \dfrac{-1}{\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\sqrt{3}} \\ &= \dfrac{-2}{1 - \sqrt{3}} \\ &= \dfrac{-2}{1 - \sqrt{3}} \times \dfrac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} \\ &= \dfrac{-2 \left 1 + \sqrt{3} \right}{1-3} \\ &= 1 + \sqrt{3} \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ 1+\sqrt{3}$ 20. Soal SNMPTN 2011 Kode 578 *Soal Lengkap Diketahui $f\left x \right=x^{\frac{1}{3}}\ sin\ x$. Persamaan garis singgung di $f$ yang melalui titik asal adalah... $\begin{align} A\ & x=0 \\ B\ & y=0 \\ C\ & y=x \\ D\ & y=-x \\ E\ & \text{tidak ada} \end{align}$ Alternatif Pembahasan Gradien garis Untuk kita ingat bahwa jika garis $g$ dan garis $l$ adalah dua buah garis saling tegak lurus maka perkalian gradiennnya adalah $-1$ atau dapat kita tuliskan $m_{g} \cdot m_{l}=-1$. $\begin{align} f\left x \right &= x^{\frac{1}{3}}\ sin\ x \\ f'\left x \right &=\frac{1}{3} \cdot x^{-\frac{2}{3}}\ sin\ x + x^{ \frac{1}{3}}\ cos\ x \\ &=\frac{1}{3} \cdot x^{-\frac{2}{3}}\ sin\ x + x^{ \frac{1}{3}}\ cos\ x \\ \end{align}$ Gradien garis singgung pada kurva yang melalui titik asal adalah $\begin{align} m_{g} &= \frac{1}{3} \cdot x^{-\frac{2}{3}}\ sin\ x + x^{ \frac{1}{3}}\ cos\ x \\ &= \frac{1}{3} \cdot \left 0 \right^{-\frac{2}{3}}\ sin\ \left 0 \right + \left 0 \right^{ \frac{1}{3}}\ cos\ \left 0 \right \\ &= \frac{1}{3} \cdot 0 + 0 \cdot 1 \\ &= 0 \end{align}$ Garis singgung melaluit titik asal $\left 0,0 \right$ dengan gradien $m=0$ adalah $\begin{align} y-y_{1} &= m \leftx-x_{1} \right \\ y-0 &= 0 \leftx- 0 \right \\ y &= 0 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ y=0$ 21. Soal SNMPTN 2010 KOde 528 *Soal Lengkap Jika garis singgung kurva $y=2x\ cos^{3} x$ di titik $\left \pi, -2\pi \right$ tegak lurus dengan garis $g$, maka persamaan garis $g$ adalah... $\begin{align} A\ & y=2x-3\pi \\ B\ & y=2x+\pi \\ C\ & y=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{5}{2}\pi \\ D\ & y=-\dfrac{1}{2}x+3\pi \\ E\ & y=\dfrac{1}{2}x+\pi \\ \end{align}$ Alternatif Pembahasan Untuk kita ingat bahwa jika garis $g$ dan garis $l$ adalah dua buah garis saling tegak lurus maka perkalian gradiennnya adalah $-1$ atau dapat kita tuliskan $m_{g} \cdot m_{l}=-1$. $\begin{align} y &= 2x\ cos^{3} x \\ y' &= 2 \cdot cos^{3}\ x +2x \cdot 3 \cdot cos^{2}\ x \left -sin\ x \right \\ &= 2 \cdot cos^{3}\ x - 2x \cdot 3 \cdot cos^{2}\ x\ sin\ x \\ \hline m_{x=\pi} &= 2 \cdot cos^{3}\ \pi - 2\pi \cdot 3 \cdot cos^{2}\ \pi\ sin\ \pi \\ &= 2 \cdot -1^{3} - 2\pi \cdot 3 \cdot -1^{2}\ 0 \\ &= 2 \cdot -1 - 0 = -2 \end{align}$ Karena dua garis yang tegak lurus perkalian gradiennya adalah $-1$ sehingga gradien garis yang tegak lurus dengan garis bergradien $m_{g}=-2$ adalah $ m_{l}=\dfrac{1}{2} $ Persamaan garis di titik $\left \pi, -2\pi \right$ yang tegak lurus dengan garis $g$ adalah $\begin{align} y-y_{1} &= m \leftx-x_{1} \right \\ y+2\pi &= \dfrac{1}{2} \leftx- \pi \right \\ y &= \dfrac{1}{2}x- \dfrac{1}{2}\pi -2\pi \\ y &= \dfrac{1}{2}x- \dfrac{5}{2}\pi \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ \dfrac{1}{2}x- \dfrac{5}{2}\pi $ 22. Soal SIMAK UI 2012 Kode 523 *Soal Lengkap Diberikan $fx=sin^{2}x$. Jika $f'x$ menyatakan turunan pertama dari $fx$, maka $\lim\limits_{h \to \infty} h \left\{ f' \left x+\frac{1}{h} \right -f'x\right \}=\cdots$ $\begin{align} A\ & sin\ 2x \\ B\ & -cos\ 2x \\ C\ & 2\ cos\ 2x \\ D\ & 2\ sin\ x \\ E\ & -2\ cos\ x \end{align}$ Alternatif Pembahasan Bentuk limit $\lim\limits_{h \to \infty} h \left\{ f' \left x+\frac{1}{h} \right -f'x\right \}$ pada soal memiliki kemiripan dengan definisi turunan fungsi yaitu $\begin{align} y &= fx \\ f'x &= \lim\limits_{p \to 0} \dfrac{fx+p-fx}{p} \\ f''x &= \lim\limits_{p \to 0} \dfrac{f'x+p-f'x}{p} \\ f^{3}x &= \lim\limits_{p \to 0} \dfrac{f''x+p-f''x}{p} \\ \vdots & \end{align}$ Jika kita misalkan $h=\dfrac{1}{a}$ maka kita peroleh $a=\dfrac{1}{h}$ Lalu untuk $h \rightarrow \infty$ kita peroleh $a \rightarrow 0$ Dari apa yang kita peroleh di atas kita substitusikan pada soal, sehingga dapat kita tuliskan $\begin{align} & \lim\limits_{h \to \infty} h \left\{ f' \left x+\frac{1}{h} \right -f'x\right \} \\ &= \lim\limits_{a \rightarrow 0} \dfrac{1}{a} \left\{ f' \left x+ a \right -f'x\right \} \\ &= \lim\limits_{a \rightarrow 0} \dfrac{ f' \left x+ a \right -f'x}{a} \end{align}$ Dari bentuk di atas dapat kta simpulkan bahwa yang ditanyakan pada soal adalah turunan kedua dari fungsi $fx=sin^{2}x$, yaitu $\begin{align} fx &= sin^{2}x \\ f'x &= 2\ \cdot sin\ x\ cos\ x \\ f''x &= 2\ \cdot cos\ x\ \cdot cos\ x + 2 \cdot sin\ x \cdot \left-sin\ x \right \\ &= 2\ \cdot cos^{2}x - 2 \cdot sin^{2}x \\ &= 2\ \left cos^{2}x - sin^{2}x \right \\ &= 2\ cos\ 2x \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ 2\ cos\ 2x$ 23. Soal UM UGM 2014 Kode 532 *Soal Lengkap Jika $f\left x \right= \left sin\ x + cos\ x \right\left cos\ 2x + sin\ 2x \right$ dan $f'\left x \right=2\ cos\ 3x +gx$ maka $gx=\cdots$ $\begin{align} A\ & cos\ 3x +sin\ x \\ B\ & cos\ 3x -sin\ x \\ C\ & cos\ x +sin\ x \\ D\ & cos\ x - sin\ x \\ E\ & -cos\ x + sin\ x \end{align}$ Alternatif Pembahasan Untuk menyelesaikan soal di atas, kita mungkin memerlukan catatan Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut pada perbandingan trigonometri. $\begin{align} f\left x \right &= \left sin\ x + cos\ x \right\left cos\ 2x + sin\ 2x \right\\ &= sin\ x\ cos\ 2x + sin\ x\ sin\ 2x + cos\ x\ cos\ 2x + cos\ x\ sin\ 2x\\ &= sin\ x\ cos\ 2x + cos\ x\ sin\ 2x + sin\ x\ sin\ 2x + cos\ x\ cos\ 2x \\ &= sin \left 2x+x \right + cos \left2x-x \right \\ &= sin \left 3x \right + cos \left x \right \\ f'\left x \right\ &= 3\ cos \left 3x \right - sin \left x \right \\ &= 2\ cos \left 3x \right + cos \left 3x \right - sin \left x \right \\ \hline f'\left x \right\ &= 2\ cos \left 3x \right + g \left x \right \\ \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ cos\ 3x -sin\ x$ 24. Soal SBMPTN 2014 Kode 589/586 *Soal Lengkap Jika $f\left x \right= 2x + sin\ 2x$ untuk $-\dfrac{\pi}{4} \lt x \lt \dfrac{\pi}{4} $, maka $f'x=\cdots$ $\begin{align} A\ & 4\ \sum\limits_{i=0}^{\infty} \left tan\ x \right ^{i} \\ B\ & 4\ \left 1-cos^{2}x \right \\ C\ & 4\ \sum\limits_{i=0}^{\infty} \left -1 \right ^{i} \left tan\ x \right ^{2i} \\ D\ & 4\ \sum\limits_{i=0}^{\infty} \left -sin\ x \right ^{2i} \\ E\ & 4\ cos\ 2x \end{align}$ Alternatif Pembahasan $\begin{align} f\left x \right &= 2x + sin\ 2x \\ f '\left x \right &= 2 + 2\ cos\ 2x \\ &= 2 \left1 + cos\ 2x \right \\ &= 2 \left1 + 2cos^{2}x-1 \right \\ &= 4cos^{2}x \end{align}$ Sampai pada langkah di atas kita belum mendapatkan jawaban seperti apa yang diinginkan pembuat soal. Kita coba mengeksplorasi beberapa pilihan yang ada. Untuk pilihan $B$ dan $E$ sudah tidak mungkin lagi menjadi jawaban, sehingga yang perlu kita eksplorasi adalah pilihan $A$, $C$, atau $D$. Disini yang kita pilih untuk di eksplorasi adalah pilihan $C\ 4\ \sum\limits_{i=0}^{\infty} \left -1 \right ^{i} \left tan\ x \right ^{2i}$ $\begin{align} & 4\ \sum\limits_{i=0}^{\infty} \left -1 \right ^{i} \left tan\ x \right ^{2i} \\ & =4 \left [ \left -1 \right ^{0} \left tan\ x \right ^{20}+\left -1 \right ^{1} \left tan\ x \right ^{21} + \left -1 \right ^{2} \left tan\ x \right ^{22} +\cdots \right]\\ & =4 \left[ \left 1 \right \left tan\ x \right ^{0}+\left -1 \right \left tan\ x \right ^{2 }+1 \left tan\ x \right ^{4} +\left -1 \right \left tan\ x \right ^{6} +\cdots \right] \\ & = 4 \left[ 1 + \left -1 \right \left tan\ x \right ^{2 }+\left 1 \right \left tan\ x \right ^{4} +\left -1 \right \left tan\ x \right ^{6} +\cdots \right] \\ \hline & a=1\ \text{dan}\ r=-tan^{2}x \\ & S_{\infty}=\dfrac{a}{1-r} \\ \hline & = 4 \left[ \dfrac{1}{1+ tan^{2}x} \right] \\ & = 4 \left[ \dfrac{1}{sec^{2}x} \right] \\ & = 4 \left[ cos^{2}x \right] \\ \end{align}$ Dari hasil eksplorasi di atas kita peroleh $4\ \sum\limits_{i=0}^{\infty} \left -1 \right ^{i} \left tan\ x \right ^{2i} = 4 \left[ cos^{2}x \right]$$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ 4\ \sum\limits_{i=0}^{\infty} \left -1 \right ^{i} \left tan\ x \right ^{2i}$ 25. Soal SBMPTN 2015 Kode 534 *Soal Lengkap Fungsi $f\left x \right= -\sqrt{cos^{2}x+\frac{x}{2}+\pi}$ untuk $- \pi \lt x \lt 2\pi$, turun pada interval... $\begin{align} A\ & 0 \lt x \lt \dfrac{5\pi}{12} \\ B\ & 0 \lt x \lt \dfrac{\pi}{12} \\ C\ & \dfrac{\pi}{6} \lt x \lt \dfrac{\pi}{3} \\ D\ & \dfrac{5\pi}{12} \lt x \lt \dfrac{7\pi}{12} \\ E\ & -\dfrac{7\pi}{12} \lt x \lt \dfrac{\pi}{12} \end{align}$ Alternatif Pembahasan Sedikit catatan turunan fungsi kita tuliskan yaitu untuk $y=\sqrt{fx}$ maka $y'=\dfrac{f'x}{2\sqrt{fx}}$. $\begin{align} f\left x \right &= -\sqrt{cos^{2}x+\frac{x}{2}+\pi} \\ f '\left x \right &= -\dfrac{-2\ cos\ x\ sin\ x + \frac{1}{2}}{2\sqrt{cos^{2}x+\frac{x}{2}+\pi}} \\ &= \dfrac{2\ cos\ x\ sin\ x - \frac{1}{2}}{2\sqrt{cos^{2}x+\frac{x}{2}+\pi}} \\ &= \dfrac{sin\ 2x - \frac{1}{2}}{2\sqrt{cos^{2}x+\frac{x}{2}+\pi}} \end{align}$ Agar $f\left x \right$ turun maka $f'\left x \right \lt 0$, sehingga dapat kita tuliskan $\begin{align} f '\left x \right & \lt 0 \\ \dfrac{sin\ 2x - \frac{1}{2}}{2\sqrt{cos^{2}x+\frac{x}{2}+\pi}} & \lt 0 \\ \end{align}$ Untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan di atas kita cari pembuat nolnya, yaitu $\begin{align} f '\left x \right & = 0 \\ \dfrac{sin\ 2x - \frac{1}{2}}{2\sqrt{cos^{2}x+\frac{x}{2}+\pi}} & = 0 \\ sin\ 2x - \frac{1}{2} & = 0 \\ sin\ 2x & = \frac{1}{2} \\ sin\ 2x & =sin\ \frac{ \pi}{6} \\ \hline 2x & =\frac{ \pi}{6} + k \cdot 2\pi \\ x & =\frac{ \pi}{12} + k \cdot \pi \\ x & =-\frac{11\pi}{12},\frac{ \pi}{12},\frac{13\pi}{12} \\ \hline 2x & =\pi-\frac{\pi}{6} + k \cdot 2\pi \\ 2x & = \frac{5\pi}{6} + k \cdot 2\pi \\ x & = \frac{5\pi}{12} + k \cdot \pi \\ x & =-\frac{7\pi}{12},\frac{5\pi}{12},\frac{17\pi}{12} \end{align}$ Langkah selanjutnya sama seperti menentukan daerah penyelesaian pada pertidaksamaan, yaitu menggambarkannya pada garis bilangan lalu menguji nilai $x$ dan menetukan daerah atau batasan nilai $x$ yang mengakibatkan $f '\left x \right \lt 0$ Tetapi pada saat ini kita coba manganalisa dari pembuat nol yang kita peroleh di atas dan pilihan $A,B,C,D,E$. Pada soal pilihan yang kita uji adalah $E\ -\dfrac{7\pi}{12} \lt x \lt \dfrac{\pi}{12}$ karena hanya pilihan ini yang memuat pembuat nol pada batas atas dan batas bawahnya. Kita uji nilai $x$ dari $-\dfrac{7\pi}{12} \lt x \lt \dfrac{\pi}{12}$ yaitu $x=0$ $\begin{align} f '\left x \right &= \dfrac{sin\ 2x - \frac{1}{2}}{2\sqrt{cos^{2}x+\frac{x}{2}+\pi}} \\ &= \dfrac{sin\ 20 - \frac{1}{2}}{2\sqrt{cos^{2}0+\frac{0}{2}+\pi}} \\ &= \dfrac{- \frac{1}{2}}{2+\pi} \lt 0 \\ & \text{terbukti}\ f '\left x \right \lt 0 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ -\dfrac{7\pi}{12} \lt x \lt \dfrac{\pi}{12}$ 26. Soal SBMPTN 2015 Kode 541 *Soal Lengkap Fungsi $f\left x \right= \sqrt{cos^{2}2x+x}$ untuk $ x \gt 0$, naik pada interval... $\begin{align} A\ & \dfrac{4\pi}{12} \lt x \lt \dfrac{13\pi}{12} \\ B\ & \dfrac{5\pi}{24} \lt x \lt \dfrac{13\pi}{24} \\ C\ & \dfrac{7\pi}{6} \lt x \lt \dfrac{11\pi}{6} \\ D\ & \dfrac{5\pi}{24} \lt x \lt \dfrac{11\pi}{24} \\ E\ & \dfrac{5\pi}{12} \lt x \lt \dfrac{11\pi}{12} \end{align}$ Alternatif Pembahasan Sedikit catatan turunan fungsi kita tuliskan yaitu untuk $y=\sqrt{fx}$ maka $y'=\dfrac{f'x}{2\sqrt{fx}}$. $\begin{align} f\left x \right &= \sqrt{cos^{2}2x+x} \\ f '\left x \right &= \dfrac{-2\ cos\ 2x\ \cdot 2 \cdot sin\ 2x + 1}{2\sqrt{cos^{2}2x+x}} \\ &= \dfrac{-4\ cos\ 2x\ sin\ 2x + 1}{2\sqrt{cos^{2}2x+x}} \\ &= \dfrac{-2 sin\ 4x +1}{2\sqrt{cos^{2}2x+x}} \end{align}$ Agar $f\left x \right$ naik maka $f'\left x \right \gt 0$, sehingga dapat kita tuliskan $\begin{align} f '\left x \right & \gt 0 \\ \dfrac{-2 sin\ 4x +1}{2\sqrt{cos^{2}2x+x}} & \gt 0 \\ \end{align}$ Untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan di atas kita cari pembuat nolnya, yaitu $\begin{align} f '\left x \right & = 0 \\ \dfrac{-2 sin\ 4x +1}{2\sqrt{cos^{2}2x+x}} & = 0 \\ -2 sin\ 4x +1 & = 0 \\ 2sin\ 4x & = 1 \\ sin\ 4x & = \dfrac{ 1}{2} \\ sin\ 4x & = sin\ \frac{ \pi}{6} \\ \hline 4x & =\frac{ \pi}{6} + k \cdot 2\pi \\ x & =\frac{ \pi}{24} + k \cdot \frac{ \pi}{2}\\ x & =\frac{\pi}{24},\ \frac{13 \pi}{12},\ \frac{25\pi}{24},\cdots \\ \hline 4x & =\pi-\frac{\pi}{6} + k \cdot 2\pi \\ 4x & = \frac{5\pi}{6} + k \cdot 2\pi \\ x & = \frac{5\pi}{24} + k \cdot \frac{ \pi}{2} \\ x & = \frac{5\pi}{24},\ \frac{17\pi}{24},\ \frac{29\pi}{24},\cdots \end{align}$ Langkah selanjutnya sama seperti menentukan daerah penyelesaian pada pertidaksamaan, yaitu menggambarkannya pada garis bilangan lalu menguji nilai $x$ dan menetukan daerah atau batasan nilai $x$ yang mengakibatkan $f '\left x \right \gt 0$ Tetapi pada saat ini kita coba manganalisa dari pembuat nol yang kita peroleh di atas dan pilihan $A,B,C,D,E$. Pada soal pilihan yang kita uji adalah $B\ \dfrac{5\pi}{24} \lt x \lt \dfrac{13\pi}{24}$ karena hanya pilihan ini yang memuat pembuat nol pada batas atas dan batas bawahnya. Kita uji nilai $x$ dari $\dfrac{5\pi}{24} \lt x \lt \dfrac{13\pi}{24}$ yaitu $x=\dfrac{12\pi}{24}=90$ $\begin{align} f '\left x \right &= \dfrac{-2 sin\ 4x +1}{2\sqrt{cos^{2}2x+x}} \\ &= \dfrac{-2 sin\ 490 +1}{2\sqrt{1+90}} \\ &= \dfrac{0+1}{2\sqrt{1+90}} \\ &= \dfrac{1}{2\sqrt{1+90}} \gt 0 \\ & \text{terbukti}\ f '\left x \right \gt 0 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ \dfrac{5\pi}{24} \lt x \lt \dfrac{13\pi}{24}$ 26. Soal SBMPTN 2015 Kode 510 *Soal Lengkap Fungsi $f\left x \right= \sqrt{2+\frac{x}{\sqrt{2}}-sin\ x}$ untuk $ -\pi \leq x \leq \pi$, turun pada interval... $\begin{align} A\ & 0 \leq x \leq \dfrac{ \pi}{ 2} \\ B\ & 0 \lt x \lt \pi \\ C\ & -\dfrac{ \pi}{ 3} \leq x \leq 0 \\ D\ & -\dfrac{ \pi}{ 3} \leq x \leq \dfrac{\pi}{3} \\ E\ & -\dfrac{ \pi}{4} \lt x \lt \dfrac{\pi}{4} \end{align}$ Alternatif Pembahasan Sedikit catatan turunan fungsi kita tuliskan yaitu untuk $y=\sqrt{fx}$ maka $y'=\dfrac{f'x}{2\sqrt{fx}}$. $\begin{align} f\left x \right &= \sqrt{2+\frac{x}{\sqrt{2}}-sin\ x} \\ f '\left x \right &= \dfrac{\frac{1}{\sqrt{2}}- cos\ x}{2\sqrt{2+\frac{x}{\sqrt{2}}-sin\ x}} \end{align}$ Agar $f\left x \right$ turun maka $f'\left x \right \lt 0$, sehingga dapat kita tuliskan $\begin{align} f '\left x \right & \lt 0 \\ \dfrac{\frac{x}{\sqrt{2}}- cos\ x}{2\sqrt{2+\frac{x}{\sqrt{2}}-sin\ x}} & \lt 0 \\ \end{align}$ Untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan di atas kita cari pembuat nolnya, yaitu $\begin{align} f '\left x \right & = 0 \\ \dfrac{\frac{x}{\sqrt{2}}- cos\ x}{2\sqrt{2+\frac{x}{\sqrt{2}}-sin\ x}} & = 0 \\ \frac{x}{\sqrt{2}}- cos\ x & = 0 \\ cos\ x & = \frac{x}{\sqrt{2}} \\ cos\ x & = cos\ \frac{ \pi}{4} \\ \hline x & =\frac{ \pi}{4} + k \cdot 2\pi \\ x & =\frac{\pi}{4} \\ \hline x & =-\frac{ \pi}{4} + k \cdot 2\pi \\ x & =-\frac{\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4} \\ \end{align}$ Langkah selanjutnya sama seperti menentukan daerah penyelesaian pada pertidaksamaan, yaitu menggambarkannya pada garis bilangan lalu menguji nilai $x$ dan menetukan daerah atau batasan nilai $x$ yang mengakibatkan $f '\left x \right \gt 0$ Tetapi pada saat ini kita coba manganalisa dari pembuat nol yang kita peroleh di atas dan pilihan $A,B,C,D,E$. Pada soal pilihan yang kita uji adalah $E\ -\dfrac{ \pi}{4} \lt x \lt \dfrac{\pi}{4}$ karena hanya pilihan ini yang memuat pembuat nol pada batas atas dan batas bawahnya. Kita uji nilai $x$ dari $-\dfrac{ \pi}{4} \lt x \lt \dfrac{\pi}{4}$ yaitu $x=0$ $\begin{align} f '\left x \right &= \dfrac{\frac{1}{\sqrt{2}}- cos\ x}{2\sqrt{2+\frac{x}{\sqrt{2}}-sin\ x}} \\ &= \dfrac{\frac{1}{\sqrt{2}}- cos\ 0}{2\sqrt{2+\frac{0}{\sqrt{2}}-sin\ 0}} \\ &= \dfrac{\frac{1}{\sqrt{2}}- 1}{2\sqrt{2+0-0}} \gt 0 \\ & \text{terbukti}\ f '\left x \right \lt 0 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ -\dfrac{ \pi}{4} \lt x \lt \dfrac{\pi}{4}$ 27. Soal UMPTN 1996 Rayon A *Soal LengkapPersamaan garis yang tegak lurus garis singgung kurva $y=tan\ x$ di titik $\left \frac{\pi}{4},1 \right$ adalah... $\begin{align} A\ & y=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{4}+1 \\ B\ & y=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{8}-1 \\ C\ & y=-\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{8}-1 \\ D\ & y=-\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{4}-1 \\ E\ & y=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{8}+1 \end{align}$ Alternatif PembahasanGradien garis singgung kurva $y=tan\ x$ di titik $\left \frac{\pi}{4},1 \right$ adalah $\begin{align} y & = tan\ x \\ m=y' & = sec^{2} x \\ & = \dfrac{1}{cos^{2}\ x} \\ & = \dfrac{1}{cos^{2} \left \frac{\pi}{4} \right} \\ & = \dfrac{1}{\left \frac{1}{2} \sqrt{2} \right^{2}} \\ & = \dfrac{1}{\left \frac{1}{4} \cdot 2 \right} = 2 \end{align}$ Dua garis saling tegak lurus maka perkalian kedua gradien garis adalah $-1$ atau $m_{1} \cdot m_{2}=-1$, sehingga garis yang tegak lurus dengan garis singgung kurva gradiennya adalah $m=-\dfrac{1}{2}$. Persamaan garis yang tegak lurus dengan garis singgung kurva di titik $\left \frac{\pi}{4},1 \right$ dan $m=-\dfrac{1}{2}$ adalah $\begin{align} y-y_{1} & = m \left x-x_{1} \right \\ y-1 & = -\dfrac{1}{2} \left x-\frac{\pi}{4} \right \\ y-1 & = -\dfrac{1}{2}x +\dfrac{\pi}{8} \\ y & = -\dfrac{1}{2}x +\dfrac{\pi}{8}+1 \end{align}$$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ y=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{8}+1$ 28. Soal SIMAK UI 2010 Kode 205 *Soal Lengkap Jika diketahui $fx= \left tan x \right$, maka laju perubahan $fx$ pada saat $x=k$, dimana $\dfrac{\pi}{2} \lt x \lt \pi$ akan sama dengan... $\begin{align} A\ & -sin\ k \\ B\ & cos\ k \\ C\ & -sec^{2}\ k \\ D\ & sec^{2}\ k \\ E\ & cot\ k \end{align}$ Alternatif Pembahasan Berdasarkan definisi nilai mutlak fungsi $fx= \left tan x \right$ dapat kita tuliskan, $ \left tan x \right = \left\{\begin{array}{cc} tan x,\ \text{untuk}\ tan x \geq 0 \\ -tan x,\ \text{untuk}\ tan x \lt 0 \end{array} \right.$ Untuk $k=x$ dan $\dfrac{\pi}{2} \lt k \lt \pi$ maka $x$ berada di kuadran II diperoleh $tan x$ bernilai negatif sehingga $fx=- tan\ x$. Laju perubahan $fx$ terhadap $x$ dapat kita tuliskan $\dfrac{dfx}{dx}=-sec^{2}x$, dan laju perubahan $fx$ pada saat $x=k$ adalah $\dfrac{dfk}{dx}=-sec^{2}k$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ -sec^{2}\ k$ 29. Soal SIMAK UI 2010 Kode 208 *Soal Lengkap $y= sin\left sin\left sin\left sin\left \cdots\left sin\left sin\ x \right \right \right \cdots \right \right \right $ Tentukan $\dfrac{dy}{dx}$ pada $x=0$. $\begin{align} A\ & - \infty \\ B\ & -1 \\ C\ & 0 \\ D\ & 1 \\ E\ & \infty \end{align}$ Alternatif Pembahasan Untuk menyelesaikan soal di atas kita lakukan dengan beberapa eksplorasi dengan fungsi yang sederhana. Untuk $y=sinx$ $\begin{align} f'x=\dfrac{dy}{dx}\ & =cosx \\ f'0\ & =cos0 \\ = 1 \end{align}$ Untuk $y=sin\left sin\ x \right $ $\begin{align} f'x=\dfrac{dy}{dx}\ & =cos\left sin\ x \right \cdot cosx \\ f'0\ & =cos\left sin\ 0 \right \cdot cos0 \\ & =cos\left 0 \right \cdot 1 \\ & =1 \end{align}$ Untuk $y=sin\left sin \left sin\ x \right \right $ $\begin{align} f'x=\dfrac{dy}{dx}\ & =cos \left sin \left sin\ x \right \right \cdot cos \left sin\ x \right \cdot cosx \\ f'0\ & =cos \left sin \left sin\ 0 \right \right \cdot cos \left sin\ 0 \right \cdot cos0 \\ & =cos \left sin \left 0 \right \right \cdot cos \left 0 \right \cdot 1 \\ & =cos \left 0 \right \cdot 1 \cdot 1 \\ & =1 \cdot 1 \cdot 1 \\ & =1 \end{align}$ Jika kita lakukan eksplorasi pada langkah berikutnya hasilnya juga adalah $1$ dan ini menjawab untuk fungsi $y= sin\left sin\left sin\left sin\left \cdots\left sin\left sin\ x \right \right \right \cdots \right \right \right $ hasilnya adalah $1$. $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ 1$ 30. Soal UMPTN 1991 *Soal Lengkap Nilai maksimum dari $fx= 2\ cos\ 2x + 4\ sin\ x$ untuk $0 \lt x \lt \pi$, adalah... $\begin{align} A\ & 2 \\ B\ & 3 \\ C\ & 4 \\ D\ & -6 \\ E\ & -12 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Untuk menyelesaikan soal di atas kita coba selesaikan dengan uji turunan pertama $f'x= 0$ $\begin{align} fx & = 2\ cos\ 2x + 4\ sin\ x \\ f'x & = -4\ sin\ 2x + 4\ cos\ x \end{align}$ Untuk $f'x=0$, kita peroleh $\begin{align} -4\ sin\ 2x + 4\ cos\ x & = 0 \\ -4\ 2\ sin\ x\ cos\ x + 4\ cos\ x & = 0 \\ -4\ cos\ x \left2\ sin\ x - 1 \right & = 0 \\ -4\ cos\ x= 0\ \text{atau}\ 2\ sin\ x - 1 & = 0 \\ cos\ x= 0\ \text{atau}\ sin\ x & = \frac{1}{2} \\ \end{align}$ Untuk $0 \lt x \lt \pi$ kita peroleh Saat $cos\ x= 0$ nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=90^{\circ}$ $\begin{align} fx & = 2\ cos\ 2x + 4\ sin\ x \\ f \left 90^{\circ} \right & = 2\ cos\ 2\left 90^{\circ} \right + 4\ sin\ \left 90^{\circ} \right \\ & = 2\ cos\ 180^{\circ} + 4 sin\ 90^{\circ} \\ & = 2\ \left -1 \right + 4 \left 1 \right = 2 \end{align}$ Saat $sin\ x = \dfrac{1}{2}$ nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=30^{\circ}, 150^{\circ}$ $\begin{align} fx & = 2\ cos\ 2x + 4\ sin\ x \\ f \left 30^{\circ} \right & = 2\ cos\ 2\left 30^{\circ} \right + 4\ sin\ \left 30^{\circ} \right \\ & = 2\ cos\ 60^{\circ} + 4 sin\ 30^{\circ} \\ & = 2\ \left \frac{1}{2} \right + 4 \left \frac{1}{2} \right = 3 \end{align}$ $\begin{align} fx & = 2\ cos\ 2x + 4\ sin\ x \\ f \left 150^{\circ} \right & = 2\ cos\ 2\left 150^{\circ} \right + 4\ sin\ \left 150^{\circ} \right \\ & = 2\ cos\ 300^{\circ} + 4\ sin\ 150^{\circ} \\ & = 2\ \left \frac{1}{2} \right + 4\ \left \frac{1}{2} \right = 3 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ 3$ 31. Soal UMPTN 1992 *Soal Lengkap Diketahui $fx= \dfrac{2+cos\ x}{sin\ x}$. Garis singgung grafiknya pada $x=\dfrac{\pi}{2}$ memotong sumbu $y$ di titik $\left 0,b \right$, nilai $b$ yang memenuhi adalah... $\begin{align} A\ & 2 \\ B\ & \dfrac{\pi}{2} \\ C\ & -2+\dfrac{\pi}{2} \\ D\ & 2-\dfrac{\pi}{2} \\ E\ & 2+\dfrac{\pi}{2} \end{align}$ Alternatif Pembahasan Untuk menyelesaikan soal di atas kita coba selesaikan dengan uji turunan pertama, dimana kita ketahui bahwa gradien garis singgung $m=f'x$. $\begin{align} fx & = \dfrac{2+cos\ x}{sin\ x} \\ \hline u = 2+cos\ x & \rightarrow u'=-sin\ x \\ v = sin\ x & \rightarrow u'=cos\ x \\ \hline f'x & = \dfrac{u' \cdot v - u \cdot v' }{v^{2}} \\ & = \dfrac{\left -sin\ x \right\left sin\ x \right-\left 2+cos\ x \right\left cos\ x \right}{sin^{2} x} \\ & = \dfrac{ -sin^{2} x -2cos\ x - cos^{2} x }{sin^{2} x} \\ & = \dfrac{ - \leftsin^{2} x 2cos\ x + cos^{2} x \right }{sin^{2} x} \\ & = \dfrac{ -\left1 +2cos\ x \right}{sin^{2} x} \end{align}$ Gradien garis singgung $m=f'x$ saat $x=\dfrac{\pi}{2}$ adalah $\begin{align} m & = \dfrac{ -\left1 +2cos\ x \right}{sin^{2} x} \\ & = \dfrac{ -\left1 +2cos\ \frac{\pi}{2} \right}{sin^{2} \frac{\pi}{2}} \\ & = \dfrac{ -\left1 +2 \cdot 0 \right}{1^{2}} = -1 \end{align}$ Untuk $x=\dfrac{\pi}{2}$, kita peroleh $y=fx$, yaitu $\begin{align} y & = \dfrac{2+cos\ x}{sin\ x} \\ & = \dfrac{2+cos\ \frac{\pi}{2}}{sin\ \frac{\pi}{2}} \\ & = \dfrac{2+ 0}{1} 2 \end{align}$ Persamaan garis singgung yang melelui titik $\left \frac{\pi}{2}, 2 \right$ dan gradien $m=-1$ adalah $\begin{align} y-y_{1} & = m \left x -x_{1} \right \\ y-2 & = -1 \left x - \frac{\pi}{2} \right \\ y-2 & = -x + \frac{\pi}{2} \\ y & = -x + \frac{\pi}{2} +2 \end{align}$ Memotong sumbu $y$ adalah pada saat $x=0$, yaitu $\left 0, \frac{\pi}{2} +2 \right$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ \frac{\pi}{2} +2 $ Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras Beberapa pembahasan soal Turunan Fungsi Trigonometri di atas adalah coretan kreatif siswa pada lembar jawaban penilaian harian matematika, lembar jawaban penilaian akhir semester matematika, presentasi hasil diskusi matematika atau pembahasan quiz matematika di kelas. Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait 30+ Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Turunan Fungsi Trigonometri silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊. Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Setelahitu baru aku akan kasih contoh soal turunan fungsi trigonometri sekaligus dengan pembahasannya. Diketahui y = \sin^ {3} (2x^ {5} - 7x), tentukanlah turunan pertamanya! Jawab: Turunan pertama itu y' atau \frac {dy} {dx} Misalkan u = 2x^ {5} - 7x maka \frac {du} {dx} = 10x^ {4} -7 Misalkan v = \sin u maka \frac {dv} {du} = \cos u

^{Turunan fungsi trigonometri merupakan salah satu materi matematika yang dipelajari pada jenjang SMA, tepatnya di kelas XI. Berikut ini kami sajikan soal-soal yang berkaitan dengan materi turunan fungsi trigonometri, yang disertai dengan pembahasan. Soal dan PembahasanNomor 1Tentukan , jika diketahui .PembahasanMisalkan $fx = \sin x$, sehingga $$f\textcolor{maroon}{x+h} = \sin \textcolor{maroon}{x+h}$$ Berdasarkan definisi turunan fungsi, diperoleh $$\begin{aligned} D_xy &= f'x \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\textcolor{green}{fx+h}-\textcolor{blue}{fx}}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\textcolor{green}{\sin x+h}-\textcolor{blue}{\sin x}}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\sin x \cos h+\cos x \sin h-\sin x}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\sin x \cos h-\sin x+\cos x \sin h}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\sin x \cos h-1+\cos x \sin h}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\sin x \cos h-1}{h}+\lim_{h \to 0} \frac{\cos x \sin h}{h} \\ &= \sin x \cdot \textcolor{red}{\lim_{h \to 0} \frac{\cos h-1}{h}}+\cos x \cdot \textcolor{red}{\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h}} \end{aligned}$$ Karena $$\lim_{h \to 0} \frac{\cos h-1}{h}=0 \quad \text{dan} \quad \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h}$$ maka $$\begin{aligned} f'x &= \sin x \cdot \textcolor{red}{0}+\cos x \cdot \textcolor{red}{1} \\ &= 0+\cos x \\ &= \cos x \end{aligned}$$Nomor 2Tentukan , jika diketahui .PembahasanMisalkan $fx = \cos x$, sehingga $$f\textcolor{maroon}{x+h} = \cos \textcolor{maroon}{x+h}$$ Berdasarkan definisi turunan fungsi, diperoleh $$\begin{aligned} f'x &= \lim_{h \to 0} \frac{\textcolor{green}{fx+h}-\textcolor{blue}{fx}}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\textcolor{green}{\cos x+h}-\textcolor{blue}{\cos x}}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\cos x \cos h-\sin x \sin h-\cos x}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\cos x \cos h-\cos x-\sin x \sin h}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\cos x \cos h-1-\sin x \sin h}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\cos x \cos h-1}{h}-\lim_{h \to 0} \frac{\sin x \sin h}{h} \\ &= \cos x \cdot \textcolor{red}{\lim_{h \to 0} \frac{\cos h-1}{h}}-\sin x \cdot \textcolor{red}{\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h}} \end{aligned}$$ Karena $$\lim_{h \to 0} \frac{\cos h-1}{h}=0 \quad \text{dan} \quad \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h}$$ maka $$\begin{aligned} f'x &= \cos x \cdot \textcolor{red}{0}-\sin x \cdot \textcolor{red}{1} \\ &= 0-\sin x \\ &= -\sin x \end{aligned}$$Nomor 3Tentukan hasil dari .PembahasanPertama, nyatakan $\tan x$ sebagai hasil bagi antara $\sin x$ dan $\cos x$. $$D_x \tan x = D_x \left \frac{\sin x}{\cos x} \right$$ Berdasarkan aturan pembagian pada turunan, diperoleh $$\begin{aligned} D_x \tan x &= D_x \left \frac{\textcolor{blue}{\sin x}}{\textcolor{green}{\cos x}} \right \\ &= \frac{D_x \textcolor{blue}{\sin x} \cdot \textcolor{green}{\cos x} - \textcolor{blue}{\sin x} \cdot D_x \textcolor{green}{\cos x}}{\textcolor{green}{\cos x}^2} \\ &= \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x -\sin x}{\cos^2 x} \\ &= \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} \\ &= \frac{1}{\cos^2 x} \\ &= \sec^2 x \end{aligned}$$Nomor 4Tentukan hasil dari .PembahasanPertama, nyatakan $\csc x$ sebagai kebalikan dari $\sin x$. $$D_x \csc x = D_x \left \frac{1}{\sin x} \right$$ Berdasarkan aturan pembagian pada turunan, diperoleh $$\begin{aligned} D_x \csc x &= D_x \left \frac{\textcolor{blue}{1}}{\textcolor{green}{\sin x}} \right \\ &= \frac{D_x \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{\sin x} - \textcolor{blue}{1} \cdot D_x \textcolor{green}{\sin x}}{\textcolor{green}{\sin x}^2} \\ &= \frac{0 \cdot \sin x - 1 \cdot \cos x}{\sin^2 x} \\ &= \frac{0-\cos x}{\sin^2 x} \\ &= \frac{-\cos x}{\sin x \cdot \sin x} \\ &= - \frac{1}{\sin x} \cdot \frac{\cos x}{\sin x} \\ &= - \csc x \cdot \cot x \end{aligned}$$Nomor 5Tentukan hasil dari .PembahasanPertama, nyatakan $\sec x$ sebagai kebalikan dari $\cos x$. $$D_x \sec x = D_x \left \frac{1}{\cos x} \right$$ Berdasarkan aturan pembagian pada turunan, diperoleh $$\begin{aligned} D_x \sec x &= D_x \left \frac{\textcolor{blue}{1}}{\textcolor{green}{\cos x}} \right \\ &= \frac{D_x \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{\cos x} - \textcolor{blue}{1} \cdot D_x \textcolor{green}{\cos x}}{\textcolor{green}{\cos x}^2} \\ &= \frac{0 \cdot \cos x - 1 \cdot - \sin x}{\cos^2 x} \\ &= \frac{0+\sin x}{\cos^2 x} \\ &= \frac{\sin x}{\cos x \cdot \cos x} \\ &= \frac{1}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x} \\ &= \sec x \cdot \tan x \end{aligned}$$Nomor 6Tentukan hasil dari .PembahasanPertama, nyatakan $\cot x$ sebagai hasil bagi antara $\cos x$ dan $\sin x$. $$D_x \cot x = D_x \left \frac{\cos x}{\sin x} \right$$ Berdasarkan aturan pembagian pada turunan, diperoleh $$\begin{aligned} D_x \cot x &= D_x \left \frac{\textcolor{blue}{\cos x}}{\textcolor{green}{\sin x}} \right \\ &= \frac{D_x \textcolor{blue}{\cos x} \cdot \textcolor{green}{\sin x} - \textcolor{blue}{\cos x} \cdot D_x \textcolor{green}{\sin x}}{\textcolor{green}{\sin x}^2} \\ &= \frac{-\sin x \cdot \sin x - \cos x \cdot \cos x}{\sin^2 x} \\ &= \frac{-\sin^2 x-\cos^2 x}{\sin^2 x} \\ &= \frac{-\sin^2 x+\cos^2 x}{\sin^2 x} \\ &= \frac{-1}{\sin^2 x} \\ &= -\csc^2 x \end{aligned}$$Nomor 7Tentukan , jika diketahui .PembahasanBerdasarkan aturan penjumlahan pada turunan, diperoleh $$\begin{aligned} D_xy &= D_x\textcolor{red}{2\sin x}+\textcolor{blue}{3\cos x} \\ &= D_x\textcolor{red}{2 \sin x}+D_x\textcolor{blue}{3\cos x} \\ &= 2\cdot D_x \sin x+3 \cdot D_x \cos x \\ &= 2 \cdot \cos x + 3 \cdot -\sin x \\ &= 2\cos x-3\sin x \end{aligned}$$Nomor 8Tentukan , jika diketahui .PembahasanMisalkan $u = \sin x$, sehingga $y=u^2$. Turunan dari kedua fungsi ini adalah $$\begin{aligned} &u = \sin x &&\Longrightarrow \quad \frac{du}{dx} = \cos x \\ &y = u^2 &&\Longrightarrow \quad \frac{dy}{du} = 2u \end{aligned}$$ Berdasarkan Aturan Rantai diperoleh $$\begin{aligned} D_xy &= \frac{dy}{dx} \\ &= \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \\ &= 2 \textcolor{blue}{u} \cdot \cos x \\ &= 2 \textcolor{blue}{\sin x} \cos x \end{aligned}$$Nomor 9Tentukan , jika diketahui .PembahasanBerdasarkan aturan penjumlahan, diperoleh $$\begin{aligned} D_xy &= D_x\cos^2 x + \sin^2 x \\ &= \textcolor{red}{D_x\cos^2 x} + \textcolor{blue}{D_x \sin^2 x} \end{aligned}$$ Hasil dari $\textcolor{red}{D_x\cos^2 x}$ dan $\textcolor{blue}{D_x \sin^2 x}$ dapat dihitung menggunakan Aturan Rantai. $$\begin{aligned} D_xy &= \textcolor{red}{2 \cos x -\sin x} + \textcolor{blue}{2\sin x \cos x} \\ &= -2\sin x\cos x + 2 \sin x \cos x \\ &= 0 \end{aligned}$$ Cara yang lebih mudah adalah memanfaatkan identitas trigonometri $\cos^2x+\sin^2x=1$. $$\begin{aligned} D_xy &= D_x \textcolor{teal}{\cos^2 x + \sin^2 x} \\ &= D_x \textcolor{teal}{1} \\ &= 0 \end{aligned}$$Nomor 10Tentukan , jika diketahui .PembahasanBerdasarkan aturan pengurangan, diperoleh $$\begin{aligned} D_xy &= D_x1-\sin^2 x \\ &= \textcolor{red}{D_x1}-\textcolor{blue}{D_x \sin^2 x} \\ &= \textcolor{red}{0}-\textcolor{blue}{2\sin x\cos x} \\ &= -2\sin x\cos x \end{aligned}$$Nomor 11Tentukan , jika diketahui .PembahasanBerdasarkan aturan pembagian, diperoleh $$\begin{aligned} D_xy &= D_x \left \frac{\textcolor{blue}{\sin x+\cos x}}{\textcolor{green}{\cos x}} \right \\ &= \frac{D_x \textcolor{blue}{\sin x+\cos x} \cdot \textcolor{green}{\cos x} - \textcolor{blue}{\sin x+\cos x} \cdot D_x \textcolor{green}{\cos x}}{\textcolor{green}{\cos x}^2} \\ &= \frac{\cos x-\sin x \cdot \cos x-\sin x+\cos x-\sin x}{\cos^2 x} \\ &= \frac{\cos^2 x-\textcolor{red}{\sin x\cos x} + \sin^2 x + \textcolor{red}{\sin x\cos x}}{\cos^2x} \\ &= \frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x} \\ &= \frac{1}{\cos^2 x} \\ &= \sec^2x \end{aligned}$$Nomor 12Tentukan , jika diketahui .PembahasanBerdasarkan aturan perkalian, diperoleh $$\begin{aligned} D_xy &= D_x \textcolor{red}{\sin x}\textcolor{blue}{\cos x} \\ &= D_x \textcolor{red}{\sin x} \cdot \textcolor{blue}{\cos x} + \textcolor{red}{\sin x} \cdot D_x \textcolor{blue}{\cos x} \\ &= \cos x \cdot \cos x + \sin x \cdot -\sin x \\ &= \cos^2 x-\sin^2 x \end{aligned}$$Nomor 13Tentukan , jika diketahui .PembahasanBerdasarkan aturan perkalian, diperoleh $$\begin{aligned} D_xy &= D_x \textcolor{red}{\sin x} \textcolor{blue}{\tan x} \\ &= D_x \textcolor{red}{\sin x} \cdot \textcolor{blue}{\tan x} + \textcolor{red}{\sin x} \cdot D_x \textcolor{blue}{\tan x} \\ &= \cos x \cdot \tan x + \sin x \cdot \sec^2 x \\ &= \cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \sin x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} \\ &= \sin x+\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{1}{\cos x} \\ &= \sin x + \tan x \sec x \end{aligned}$$Nomor 14Tentukan , jika diketahui .PembahasanBerdasarkan aturan pembagian, diperoleh $$\begin{aligned} D_xy &= D_x \left \frac{\textcolor{red}{\sin x}}{\textcolor{blue}{x}} \right \\ &= \frac{D_x \textcolor{red}{\sin x} \cdot \textcolor{blue}{x}-\textcolor{red}{\sin x} \cdot D_x \textcolor{blue}{x}}{\textcolor{blue}{x}^2} \\ &= \frac{\cos x \cdot x-\sin x \cdot 1}{x^2} \\ &= \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \end{aligned}$$Nomor 15Tentukan , jika diketahui .PembahasanBerdasarkan aturan perkalian, diperoleh $$\begin{aligned} D_xy &= D_x \textcolor{red}{x^2} \textcolor{blue}{\cos x} \\ &= D_x \textcolor{red}{x^2} \cdot \textcolor{blue}{\cos x} + \textcolor{red}{x^2} \cdot D_x \textcolor{blue}{\cos x} \\ &= 2x \cdot \cos x + x^2 \cdot -\sin x \\ &= 2x\cos x-x^2\sin x \end{aligned}$$Nomor 16Tentukan , jika diketahui .PembahasanBerdasarkan aturan rantai, diperoleh $$\begin{aligned} D_xy &= D_x \tan^2 x \\ &= 2\tan x \cdot \textcolor{blue}{D_x \tan x} \\ &= 2\tan x \cdot \textcolor{blue}{\sec^2 x} \end{aligned}$$Nomor 17Tentukan , jika diketahui .PembahasanBerdasarkan aturan rantai, diperoleh $$\begin{aligned} D_xy &= D_x \sec^3 x \\ &= 3\sec^2 x \cdot \textcolor{blue}{D_x \sec x} \\ &= 3\sec^2 x \cdot \textcolor{blue}{\sec x \tan x} \\ &= 3\sec^3 x \tan x \end{aligned}$$Nomor 18Gunakan identitas trigonometri dan aturan perkalian, untuk menentukan .PembahasanBerdasarkan identitas trigonometri $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ dan aturan perkalian, diperoleh $$\begin{aligned} D_x \sin 2x &= D_x 2\sin x\cos x \\ &= 2 \cdot D_x \textcolor{red}{\sin x}\textcolor{blue}{\cos x} \\ &= 2 \cdot [D_x\textcolor{red}{\sin x} \cdot \textcolor{blue}{\cos x} + \textcolor{red}{\sin x} \cdot D_x \textcolor{blue}{\cos x}] \\ &= 2 \cdot [\cos x \cdot \cos x + \sin x \cdot -\sin x] \\ &= 2 \cdot [\cos^2 x-\sin^2 x] \\ &= 2 \cos 2x \end{aligned}$$}

Demikianpembahasan tentang kumpulan contoh soal untuk materi turunan. Semoga dengan memahami latihan soal di atas dapat membantu anda maupun murid anda dalam meningkatkan kemampuan menyelesaikan persoalan turunan. Sekian dulu dari kami. Selamat belajar. Pelajari Materi Terkait. Turunan Fungsi Trigonometri. Besaran Pokok dan Turunan. Integral

Bahas Soal Matematika » Turunan › Contoh Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Trigonometri Matematika SMA Oleh Tju Ji Long Statistisi Hub. WA 0812-5632-4552 Pada artikel ini kita akan membahas beberapa contoh soal turunan fungsi trigonometri matematika SMA. Pada dasarnya, menyelesaikan soal turunan fungsi trigonometri mirip dengan cara menyelesaikan turunan fungsi aljabar yakni kita dapat menggunakan rumus-rumus turunan seperti turunan perkalian, pembagian, dan turunan fungsi komposisi dengan aturan rantai. Hanya saja, karena di sini fungsi yang akan dicari turunannya adalah fungsi trigonometri maka kita perlu pahami dulu turunan dari fungsi trigonometri dasar berikut ini Perhatikan bahwa kita menggunakan notasi \ f’x \ untuk menyatakan turunan seperti diberikan di atas. Sebenarnya masih ada beberapa cara lain untuk menyatakan turunan, yakni \[ y' \quad \frac{dy}{dx} \quad \text{dan} \quad Dx \] Sebelum masuk ke contoh soal dan pembahasan dari turunan fungsi trigonometri, sebaiknya kita sudah menguasai beberapa rumus turunan berikut ini agar dapat mengerjakan soal turunan trigonometri dengan lancar. Untuk lebih jelasnya, kita langsung masuk ke contoh soal dan pembahasan turunan fungsi trigonometri berikut ini. Contoh 1 Jika \ fx=-\cos^2 x - \sin^2 x \, maka \ f’x \ adalah… Pembahasan » Untuk mengerjakan soal ini kita bisa meminjam sifat dari identitas trigonometri berikut \begin{aligned} \sin 2x &= 2 \sin x \cos x \\[8pt] \cos 2x &= \cos^2 x - \sin^2 x \end{aligned} Dengan demikian, Contoh 2 Jika \ y = 3x^4 + \sin 2x + \cos 3x \, maka \ \displaystyle \frac{dy}{dx} = \cdots \ Pembahasan » Contoh 3 Jika \ y = 2 \sin 3x – 3 \cos 2x \, maka \ \displaystyle \frac{dy}{dx} = \cdots \ Pembahasan » Contoh 4 Jika \ \displaystyle fx = \frac{ \sin x + \cos x }{ \sin x }, \sin x \neq 0 \ dan \ f’x \ adalah turunan \ fx\, maka \ \displaystyle f’ \left \frac{\pi}{2} \right = \cdots \ Pembahasan » Misalkan \ u = \sin x + \cos x \ dan \ v = \sin x \ sehingga \ fx = u/v \. Ingat bahwa rumus turunan untuk pembagian yaitu Kita cari turunan dari \u\ dan \v\ terlebih dahulu, yakni Dengan demikian, Contoh 5 Jika \ \displaystyle fx = a \tan x + bx, \ f’ \left \frac{\pi}{4} \right = 3 \ dan \ \displaystyle f’ \left \frac{\pi}{3} \right = 9 \, maka \ a + b = \cdots \ Pembahasan » Ingat bahwa turunan dari \ \tan x \ adalah \ \sec^2 x \ sehingga Selanjutnya, dengan menyelesaikan SPLDV persamaan 1 dan 2 di atas dengan cara substitusi atau eliminasi, kita peroleh nilai \a = 3\ dan \b = -3\ sehingga \a + b = 0\. Contoh 6 Turunan pertama dari \ y = \cos^4 x \ adalah… Pembahasan » Untuk menyelesaikan soal turunan ini kita bisa gunakan aturan rantai. Misalkan \ u = \cos x \ sehingga kita dapatkan hasil berikut Dengan demikian, turunan pertama dari \ y = \cos^4 x \ dengan cara aturan rantai, yakni Contoh 7 Jika \ fx = \sin \sin^2 x \, maka \ f’x = \cdots \ Pembahasan » Untuk mencari turunan pertama dari fungsi pada soal di atas, kita bisa gunakan aturan rantai. Misalkan \ u = \sin x \ sehingga Misalkan lagi \ v = u^2 \ sehingga Dengan demikian, turunan pertama dari \ fx = \sin \sin^2 x \ berdasarkan aturan rantai, yaitu Contoh 8 Misalkan \ fx = 2 \tan \sqrt{\sec x} \, maka \ f’x = \cdots \ Pembahasan » Kita dapat gunakan aturan rantai untuk menyelesaikan soal ini. Misalkan \ u = \sec x \ sehingga Misalkan lagi \ v = \sqrt{u} \ sehingga Dengan demikian, turunan pertama dari \ fx = \sin \sin^2 x \ berdasarkan aturan rantai, yaitu Contoh 9 Turunan pertama dari fungsi \ \displaystyle fx = \frac{1+\cos x}{\sin x} \ adalah \ f’x = \cdots \ Pembahasan » Misalkan \ u = 1 + \cos x \ dan \ v = \sin x \ sehingga \ fx = u/v \. Ingat bahwa rumus turunan untuk pembagian yaitu Kita cari turunan dari \u\ dan \v\ terlebih dahulu, yakni Dengan demikian, Contoh 10 Jika fungsi \ fx = \sin ax + \cos bx \ memenuhi \ f’0 = b \ dan \ \displaystyle f’ \left \frac{\pi}{2a} \right = -1 \, maka \a + b = \cdots \ Pembahasan » Karena \ b = a \ dan \a = 1\, maka \b\ juga bernilai 1 sehingga \ a + b = 1 + 1 = 2 \. Contoh 11 Jika \ fx = \sin x \cos 3x \, maka \ \displaystyle f’ \left \frac{1}{6} \pi \right = \cdots \ Pembahasan » Misalkan \ u = \sin x \ dan \ v = \cos 3x \ sehingga \ fx = u \cdot v \. Ingat bahwa rumus turunan dari perkalian dua fungsi yaitu Selanjutnya, kita cari turunan dari u dan v terlebih dahulu, yakni Dengan demikian, Contoh 12 Turunan pertama dari fungsi \ y = \sin x + \cos x^2 \ adalah… Pembahasan » Untuk mencari turunan dari fungsi dalam soal ini ada dua cara yang bisa digunakan. Cara yang pertama yaitu dengan menyederhanakan fungsinya terlebih dahulu lalu mencari turunannya. Perhatikan berikut ini Cara kedua yaitu langsung menggunakan sifat dari turunan. Contoh 13 Jika \ fx = \sqrt{1+\sin^2 x} \ di mana \ 0 \leq x \leq \pi \, maka \ f’x \cdot fx \ sama dengan… Pembahasan » Contoh 14 Diketahui \ fx = x \sin 3x \, maka \ f’ \left \frac{\pi}{4} \right \ sama dengan… Pembahasan » Misalkan \ u = x \ dan \ v = \sin 3x \, maka \ fx = u \cdot v \. Ingat bahwa rumus turunan dari perkalian dua fungsi, yaitu Selanjutnya, kita cari turunan dari \u\ dan \v\ terlebih dahulu, yakni Dengan demikian, turunan dari \ fx = x \sin 3x \, yakni Contoh 15 Jika \ \displaystyle fx = \frac{ \cos x - \sin x }{ \cos x + \sin x } \, dengan \ \cos x + \sin x \neq 0 \, maka \ f’x = \cdots \ Pembahasan » Misalkan \ u = \cos x - \sin x \ dan \ v = \cos x + \sin x \ sehingga \ fx = u/v \. Ingat bahwa rumus turunan dari pembagian dua fungsi, yaitu Kita cari turunan dari \u\ dan \v\ terlebih dahulu, yakni Dengan demikian, Contoh 16 Jika \ fx = x \cos x \, maka \ \displaystyle f’ \leftx + \frac{\pi}{2} \right = \cdots \ Pembahasan » Ingat bahwa Sekarang kita akan menyelesaikan turunan dari fungsi di atas menggunakan rumus turunan untuk perkalian dua fungsi. Misalkan \ u = - \left x + \frac{\pi}{2} \right\ dan \ v = \sin x \ sehingga Dengan demikian, Contoh 17 Jika \ fx = \sin x + \cos x\cos 2x + \sin 2x \ dan \ f’x = 2 \cos 3x + gx \, maka \ gx = \cdots \ Pembahasan » Untuk menyelesaikan soal ini kita mungkin memerlukan catatan rumus jumlah dan selisih dua sudut pada perbandingan trigonometri. Jadi, \ gx = \cos 3x - \sin x \. Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, bantu klik tombol suka di bawah ini dan jika ada yang kurang jelas dari artikel ini silahkan tanyakan di kolom komentar. Terima kasih. Our greatest weakness lies in giving up. The most certain way to succeed is always to try just one more time.

Unknown23.51 BAHAN BELAJAR MATEMATIKA Turunan fungsi trigonometri merupakan subtopik differensial yang cukup rumit karena tidak hanya harus memahami konsep turunan, tetapi kita juga harus memahami konsep trigonometri. Pada turunan fungsi trigonometri terdapat beberapa ketetapan umum yang sudah menjadi acuan dasar untuk menyelesaikan soal-soal.

Hai Quipperian, bagaimana kabarnya? Semoga selalu sehat dan tetap semangat belajar, ya! Saat bepergian ke kota-kota besar seperti Jakarta, Bandung, atau Surabaya, pasti Quipperian akan melihat gedung-gedung megah berjajar yang memancarkan keindahannya. Gedung-gedung tersebut harus didesain sedemikian sehingga aman dan tahan terhadap guncangan. Di balik kemegahan dan keindahan gedung-gedung tersebut, ternyata ada peran Matematika di dalamnya. Benarkah demikian? Posisi atau kemiringan gedung merupakan hal utama yang harus diperhatikan. Membahas masalah kemiringan, ternyata ada peran trigonometri, lho. Apa itu trigonometri? Dan seperti apa prinsip turunan trigonometri? Temukan jawabannya di pembahasan Quipper Blog kali ini. Pengertian Trigonometri Trigonometri adalah ilmu Matematika yang mempelajari tentang sudut, sisi, dan perbandingan antara sudut dan sisi. Dari perbandingan tersebut, muncullah istilah sinus, kosinus, tangen, sekan, kosekan, dan kotangen. Jika trigonometri tersebut memuat suatu variabel tertentu, maka disebut sebagai fungsi trigonometri. Adapun ciri-ciri fungsi trigonometri adalah sebagai berikut. Setelah Quipperian paham dengan ciri-ciri fungsi trigonometri di atas, kini saatnya mempelajari turunan dan fungsi dasarnya. Turunan dan Fungsi Dasar Trigonometri Untuk turunan dan fungsi dasar trigonometri, rumus yang digunakan adalah sebagai berikut. 1. Definisi turunan yang berkaitan dengan limit fungsi. 2. Rumus selisih sinus. 3. Rumus limit trigonometri. 4. Teorema limit. Untuk mengasah pemahamanmu tentang turunan fungsi trigonometri, perhatikan contoh soal berikut ini. Contoh soal 1 Pembahasan Dari contoh soal di atas, diperoleh turunan sinus dan kosinus berikut. Agar Quipperian mudah dalam mengingat bentuk turunan di atas, inilah SUPER “Solusi Quipper”. Dasar utama yang digunakan untuk menurunkan fungsi trigonometri adalah turunan terhadap sinus maupun kosinus seperti tabel maupun SUPER di atas. Namun demikian, kaidah penurunannya tetap mengacu pada turunan aljabar berikut ini. Rumus Turunan Fungsi Dasar Trigonometri Lainnya Ternyata, sifat turunan fungsi trigonometri sama juga lho dengan fungsi aljabar. Mau tahu? Dari dua persamaan di atas, sifat turunan fungsi aljabar nomor 2 dapat digunakan untuk menentukan turunan trigonometri tangen, sekan, kosekan, dan kotangen. Jika ditelaah kembali, soal-soal yang berkaitan dengan turunan fungsi trigonometri itu banyak dan beragam, sehingga Quipper Blog telah merangkum beberapa rumus yang bisa memudahkan Quipperian saat mengerjakan soal. Adapun rumus yang dimaksud adalah sebagai berikut. Check this out! 1. Identitas perbandingan 2. Identitas pythagoras 3. Sinus sudut rangkap 4. Kosinus sudut rangkap Belajar turunan fungsi trigonometri tidak lengkap jika belum mengerjakan contoh soal. Oleh sebab itu, simak contoh soal tentang rumus dasar turunan fungsi trigonometri berikut ini. Contoh soal 2 Jika fx = sec x, tentukan f’x! Pembahasan Berdasarkan identitas balikan diperoleh Gunakan permisalan seperti berikut. Dengan demikian diperoleh Apakah hanya itu? Ternyata tidak, ya. Turunan fungsi trigonometri untuk bentuk lainnya, bisa ditemukan pada tabel berikut ini. Dengan melihat beberapa persamaan di atas, Quipperian tidak perlu bingung karena SUPER “Solusi Quipper” hadir membawa kemudahan untuk menghafalkannya. Inilah SUPER “Solusi Quipper”. Turunan Fungsi Komposisi Untuk menurunkan fungsi komposisi trigonometri, Quipperian juga harus menggunakan prinsip dasar turunan fungsi komposisi aljabar. Adapun rumus dasarnya adalah sebagai berikut. Apakah Quipperian sudah paham dengan persamaan di atas? Jika masih mengalami kesulitan, Quipperian bisa mencoba prinsip turunan berantai seperti berikut ini. Keterangan y, u, dan v merupakan fungsi dalam variabel x. Untuk meningkatkan pemahaman kamu tentang turunan fungsi komposisi trigonometri, simak contoh soal berikut. Contoh soal 3 Pembahasan Dengan demikian, diperoleh Untuk menyelesaikan persamaan di atas, ingat prinsip persamaan sinus berikut. Tampaknya, Quipperian semakin paham tentang turunan fungsi komposisi trigonometri, ya. Cara termudah untuk menyelesaikan masalah terkait turunan fungsi trigonometri adalah dengan memahami turunan fungsi aljabar seperti pada pembahasan sebelumnya. Tugas Quipperian adalah mengubah fungsi trigonometri dalam soal sedemikian sehingga memiliki bentuk yang analog dengan fungsi aljabar yang dimaksud. Nilai Turunan Fungsi di x = p Suatu fungsi y = fx yang memiliki turunan di x = p, pasti turunan pertamanya f’p. Agar Quipperian lebih paham dengan nilai turunan fungsi di x = p, simak contoh soal berikut ini. Contoh soal 4 Diketahui fx = gx sin hx, dengan g2 = -1, g’2 = -3, h2 = 0, dan h’2 = 2. Tentukan nilai dari f’2! Pembahasan Fungsi fx memuat perkalian fungsi, sehingga sifat yang digunakan adalah sebagai berikut. Pertama, Quipperian membuat permisalan seperti persamaan berikut. Berdasarkan permisalan di atas, diperoleh Jadi, nilai f’2 = -2. Itulah pembahasan dan contoh soal tentang turunan trigonometri. Semoga pembahasan kali ini bermanfaat bagi Quipperian semua. Belajar Matematika itu bukan hal yang harus ditakutkan. Mengingat Matematika adalah ilmu dasar yang akan ada di setiap jenjang pendidikan. Oleh karena itu, asah kemampuan matematismu bersama Quipper Video. Dengan Quipper Video, belajar Matematika jadi lebih mudah dan praktis. Kamu bisa belajar kapan saja dan di mana saja. Salam Quipper. Penulis Eka Viandari ^{ContohSoal Cerita Aplikasi Turunan. martha yunanda contoh soal. Dalam halaman ini, akan diberikan beberapa permasalahan atau soal soal cerita tentang turunan beserta pembahasannya. Adapun soal ini bisa dijadikan sebagai contoh soal SBMPTN tentang turunan, karena soal-soal ini saya ambil dari sebuah buku persiapan menghadapi tes SBMPTN.}

Daftar isi1. Grafik Fungsi Sinus 2. Grafik Fungsi Cosinus 3. Grafik Fungsi Tangen 4. Contoh Soal Grafik Fungsi Trigonometri dan Pembahasan Soal dan Pembahasan Grafik Fungsi Trigonometri. Mengulas trik-trik atau cara praktis untuk menentukan sketsa grafik fungsi trigonometri serta untuk menentukan nilai maksimum dan nilai minimum suatu grafik fungsi trigonometeri. Grafik fungsi trigonometri yang akan kita bahas di sini adalah grafik fungsi sinus, grafik fungsi cosinus dan grafik fungsi tangen. Fungsi trigonometri adalah sebuah fungsi periodik. Periodik artinya berulang-ulang secara teratur. Karena periodik, berarti ada periode. Apa itu Periode? Periode bisa kita sebut sebagai siklus, yaitu pengulangan hal yang sama setelah suatu selang tertentu. Misalnya kurva $y = sin\ x$ akan membentuk siklus setiap selang $360^{\circ}$. Berarti $y = sin\ x$ memiliki periode sebesar $360^{\circ}$. Supaya lebih jelas, kita akan membahas satu per satu dengan metode praktis. Grafik Fungsi SinusSebelum kita lanjutkan membahas fungsi sinus, sebaiknya kita ketahui terlebih dahulu dasar fungsi sinus, yaitu $1.\ y = sin\ x$ lihat gambar !. $2.\ y = sin^2\ x$ lihat gambar! Secara umum fungsi sinus dirumuskan sebagai Berikut $y = k\ sin\ ax ± \theta + c$ $\bullet$ Nilai maksimum fungsi $= k + c$ $\bullet$ Nilai minimum fungsi $= -k + c$ $\bullet$ Amplitudo $= k$ $\bullet$ Periode $= \dfrac{360^{\circ}}{a}$ $\bullet$ $+θ$ → fungsi $y = k\ sin\ ax$ digeser kekiri sejauh $θ$. $\bullet$ $-\theta$ → fungsi $y = k\ sin\ ax$ digeser kekanan sejauh $\theta$. $\bullet$ $+C$ → fungsi $y = k\ sin\ ax ± \theta$ digeser keatas sejauh $C$. $\bullet$ $-C$ → fungsi $y = k\ sin\ ax ± \theta$ digeser kebawah sejauh $C$. $\bullet$ $y = -k\ sin\ ax ± \theta$ adalah cermin dari $y = k\ sin\ ax ± \theta$ terhadap sumbu $x$.Grafik Fungsi CosinusDasar dari fungsi kosinus yaitu, $1.\ y = cos\ x$ lihat gambar! $2.\ y = cos^2\ x$ lihat gambar! Secara umum fungsi kosinus dirumuskan sebagai berikut $y = k\ cos\ ax ± \theta + c$ $\bullet$ Nilai maksimum fungsi $= k + c$ $\bullet$ Nilai minimum fungsi $= -k + c$ $\bullet$ Amplitudo $= k$ $\bullet$ Periode $= \dfrac{360^{\circ}}{a}$ $\bullet$ $+θ$ → fungsi $y = k\ cos ax$ digeser kekiri sejauh $θ$. $\bullet$ $-\theta$ → fungsi $y = k\ cos\ ax$ digeser kekanan sejauh $\theta$. $\bullet$ $+C$ → fungsi $y = k\ cos\ ax ± \theta$ digeser keatas sejauh $C$. $\bullet$ $-C$ → fungsi $y = k\ cos\ ax ± \theta$ digeser kebawah sejauh $C$. $\bullet$ $y = -k\ cos\ ax ± \theta$ adalah cermin dari $y = k\ cos\ ax ± \theta$ terhadap sumbu $x$.Grafik Fungsi TangenDasar dari fungsi tangen adalah $y = tan\ x.$ Perhatikan gambar! Secara umum fungsi tangen dirumuskan sebagai berikut $y = k\ tan\ ax ± θ + c$ $\bullet$ Nilai maksimum fungsi $= \infty$ $\bullet$ Nilai minimum fungsi $= -\infty$ $\bullet$ Periode $= \dfrac{180^{\circ}}{a}$ $\bullet$ $+θ$ → fungsi $y = k\ tan\ ax$ digeser kekiri sejauh $θ$. $\bullet$ $-\theta$ → fungsi $y = k\ tan\ ax$ digeser kekanan sejauh $\theta$. $\bullet$ $+C$ → fungsi $y = k\ tan\ ax ± θ$ digeser keatas sejauh $C$. $\bullet$ $-C$ → fungsi $y = k\ tan\ ax ± θ$ digeser kebawah sejauh $C$. $\bullet$ $y = -k\ tan\ ax ± θ$ adalah cermin dari $y = k\ tan\ ax ± θ$ terhadap sumbu $x$.Contoh soal 1. Gambarlah grafik dari $y = 2\ sin\ 2x$.$y = 2\ sin\ 2x$ $\bullet$ Dasarnya adalah grafik $y = sin\ x$. $\bullet$ Nilai maksimum $= 2$ dan nilai minimum $= -2$. $\bullet$ Periode = $\dfrac{360^{\circ}}{2} = 180^{\circ}$ $\bullet$ Perhatikan grafik $y = sin\ x$, periode $= 360^{\circ}$, memotong sumbu $x$ ditik $x = 0^{\circ},\ x = 180^{\circ}$, dan $x = 360^{\circ}$. Grafik $y = sin\ 2x$ periode $= 180^{\circ}$, akan memotong sumbu $x$ dititik $x = 0^{\circ},\ x = 90^{\circ}$, dan $x = 180^{\circ}$. titik potong $y = sin\ x$ dibagi dua $\bullet$ Grafik $y = sin\ x$ maksimum di $x = 90^{\circ}$ dan minimum di $x = 270^{\circ}$. Grafik $y = sin\ 2x$ maksimum di $x = 45^{\circ}$ dan minimum di $x = 135^{\circ}$. Grafiknya adalah seperti diatas. Contoh soal 2. Gambarlah grafik dari $y = 2\ sin\ 3x - 30^{\circ}$$\bullet$ Dasarnya adalah grafik $y = sin\ x$ dan grafik $y = 2\ sin\ 3x.$ $\bullet$ Nilai maksimum $= 2$ dan nilai minimum $= -2$. $\bullet$ Periode $= \dfrac{360^{\circ}}{3} = 120^{\circ}$ $\bullet$ Grafik $y = 2\ sin\ 3x - 30^{\circ}$ adalah grafik $y = 2\ sin\ 3x$ digeser $30^{\circ}$ ke kanan. $\bullet$ Grafik $y = 2\ sin\ 3x$ akan memotong sumbu $x$ di titik $x = 0^{\circ},\ x = 60^{\circ},\ dan\ x = 120^{\circ}$. titik potong $y = sin\ x$ dibagi tiga. Setelah digeser $30^{\circ}$, akan memotong sumbu $x$ di titik $x = 30^{\circ},\ x = 90^{\circ},\ dan\ x = 150^{\circ}$ $\bullet$ Grafik $y = 2\ sin\ 3x$ maksimum di titik $x = 30^{\circ}$ dan minimum di titik $x = 90^{\circ}$. Grafik $y = 2\ sin\ 3x - 30^{\circ}$ maksimum dititik $x = 60^{\circ}$ dan minimum dititik $x = 120^{\circ}$. Grafiknya adalah seperti diatas. Contoh soal 3. Gambarlah grafik dari $y = -2\ cos\ 3x$.$\bullet$ Dasarnya adalah grafik $y = cos\ x$ dan $y = 2\ cos\ 3x$. $\bullet$ Nilai maksimum $= -2 = 2$ dan nilai minimum $= -2 = -2$. $\bullet$ Periode $= \dfrac{360^{\circ}}{3} = 120^{\circ}$ $\bullet$ Perhatikan grafik $y = cos\ x$, periode $= 360^{\circ}$ memotong sumbu $x$ di titik $x = 90^{\circ}\ dan\ x = 270^{\circ}$. $\bullet$ grafik $y = 2\ cos\ 3x$ periode $120^{\circ}$ akan memotong sumbu $x$ di titik $30^{\circ}\ dan\ 90^{\circ}$ titik potong $y = cos\ x$ dibagi tiga $\bullet$ $y = -2\ cos\ 3x$ adalah cermin dari $y = 2\ cos\ 3x$ terhadap sumbu $x$. $\bullet$ Grafik $y = 2\ cos\ 3x$ maksimum di titik $x = 0^{\circ}\ dan\ x = 120^{\circ}$ dan minimum di titik $x = 60^{\circ}$ $\bullet$ Grafik $y = -2\ cos\ 3x$ minimum di titik $x = 0^{\circ}\ dan\ x = 120^{\circ}$ dan maksimum di titik $x = 60^{\circ}$. Grafiknya adalah seperti di atas. Contoh soal 4. Gambarlah grafik dari $y = 2\ cos\ 2x + 90^{\circ}$.$y = 2\ cos\ 2x + 90^{\circ}$ $y = 2\ cos\ 2x + 45^{\circ}$ $\bullet$ Dasarnya adalah grafik $y = cos\ x$ dan $y = 2\ cos\ 2x$. $\bullet$ Nilai maksimum $= 2$ dan nilai minimum $= -2$. $\bullet$ Periode $= \dfrac{360^{\circ}}{2} = 180^{\circ}$ $\bullet$ grafik $y = 2\ cos\ 2x + 45$ adalah grafik $y = 2\ cos\ 2x$ digeser $45^{\circ}$ ke kiri. $\bullet$ grafik $y = 2\ cos\ 2x$ periode $180^{\circ}$ akan memotong sumbu $x$ di titik $x = 45^{\circ}\ dan\ x = 135^{\circ}$. $\bullet$ Setelah digeser sejauh $45^{\circ}$ ke kiri, grafik akan memotong sumbu $x$ di titik $0^{\circ}$, $90^{\circ}$, dan $180^{\circ}$. $\bullet$ Grafik $y = 2\ cos\ 2x$ maksimum di titik $x = 0^{\circ}\ dan\ x = 180^{\circ}$ dan minimum di titik $x = 90^{\circ}$ $\bullet$ Grafik $y = 2\ cos\ 2x + 45$ maksimum di titik $x = 135^{\circ}$ dan minimum di titik $x = 45^{\circ}$. Grafiknya adalah seperti di atas. Untuk lebih memahami fungsi trigonometri, silahkan pelajari soal-soal dan pembahasan yang berikut ! Soal dan Pembahasan menggunakan metode praktis. Contoh Soal Grafik Fungsi Trigonometri dan PembahasanDengan Metode Praktis$1$. Nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi $y = 3\ sin\ 2x$ adalah . . . . $A.\ -2\ dan\ -5$ $B.\ 2\ dan\ -3$ $C.\ -3\ dan\ -5$ $D.\ 3\ dan\ -3$ $E.\ 5\ dan\ -3$ [Grafik Fungsi Trigonometri]$y = 3\ sin\ 2x$ $Nilai\ maksimum = 3 = 3$ $Nilai\ minimum = -3 = -3$ → D. $2$. Nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi $y = -4\ sin\ 3x - 60^o$ adalah . . . . $A.\ -3\ dan\ -4$ $B.\ 3\ dan\ -3$ $C.\ -4\ dan\ -5$ $D.\ 4\ dan\ -4$ $E.\ 7\ dan\ -4$ [Grafik Fungsi Trigonometri]$y = -4\ sin\ 3x - 60^o$ $Nilai\ maksimum = -4 = 4$ $Nilai\ minimum = -4 = -4$ → D. $3.$ Nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi $y = 5\ cos\ 3x$ adalah . . . . $A.\ 3\ dan\ -3$ $B.\ 4\ dan\ -5$ $C.\ 5\ dan\ -5$ $D.\ 6\ dan\ -3$ $E.\ 7\ dan\ 5$ [Grafik Fungsi Trigonometri]$y = 5\ cos\ 3x$ $Nilai\ maksimum = 5$ $Nilai\ minimum = -5$ → C. $4.$ Nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi $y = -3\ cos\ 2x + 30^o$ adalah . . . . $A.\ -2\ dan\ -3$ $B.\ 2\ dan\ -2$ $C.\ -3\ dan\ -5$ $D.\ 3\ dan\ -3$ $E.\ 5\ dan\ -5$ [Grafik Fungsi Trigonometri]$y = -3\ cos\ 2x + 30^o$ $Nilai\ maksimum = -3 = 3$ $Nilai\ minimum = -3 = -3$ → D. $5$. Nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi $y = 3\ sin^2\ 3x$ adalah . . . . $A.\ 1\ dan\ -1$ $B.\ 2\ dan\ -2$ $C.\ 3\ dan\ 0$ $D.\ 4\ dan\ -2$ $E.\ 5\ dan\ -1$ [Grafik Fungsi Trigonometri]$y = 3\ sin^2\ 3x$ $Nilai\ maksimum = 3$ $Nilai\ minimum = 0$ → C. Ingat ! jika $y = k\ sin^2\ ax$ $Nilai\ maksimum = k$ $Nilai\ minimum = 0$ $6$. Nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi $y = -5\ sin^2\ 2x$ adalah . . . . $A.\ -5\ dan\ -7$ $B.\ 0\ dan\ -5$ $C.\ -3\ dan\ -5$ $D.\ 3\ dan\ -3$ $E.\ 5\ dan\ -5$ [Grafik Fungsi Trigonometri]$y = -5\ sin^2\ 2x$ $Nilai\ maksimum = 0$ $Nilai\ minimum = -5$ → B. Ingat ! jika $y = -k\ sin^2\ ax$ $Nilai\ maksimum = 0$ $Nilai\ minimum = -k$ $7$. Nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi $y = 2\ sin\ 3x + 3$ adalah . . . . $A.\ -2\ dan\ 0$ $B.\ 0\ dan\ -2$ $C.\ 2\ dan\ 0$ $D.\ 3\ dan\ -1$ $E.\ 5\ dan\ 1$ [Grafik Fungsi Trigonometri]$y = 2\ sin\ 3x + 3$ $Nilai\ maksimum = 2 + 3 = 5$ $Nilai\ minimum = -2 + 3 = 1$ → E. $8$. Nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi $y = -3\ sin\ 2x - 60^o - 5$ adalah . . . . $A.\ -3\ dan\ -5$ $B.\ -2\ dan\ -8$ $C.\ 0\ dan\ -5$ $D.\ 2\ dan\ -3$ $E.\ 3\ dan\ -7$ [Grafik Fungsi Trigonometri]$y = -3\ sin\ 2x - 60^o - 5$ $Nilai\ maksimum = -3 - 5$ $ = 3 - 5 = -2$ $Nilai\ minimum = -3 - 5$ $ = -3 - 5 = -8$ → B. $9$. Nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi $y = -4\ cos\ 3x + 30^o + 2$ adalah . . . . $A.\ -4\ dan\ -2$ $B.\ -2\ dan\ 0$ $C.\ 2\ dan\ -2$ $D.\ 4\ dan\ 1$ $E.\ 6\ dan\ -2$ [Grafik Fungsi Trigonometri]$y = -4\ cos\ 3x + 30^o + 2$ $Nilai\ maksimum = -4 + 2$ $ = 4 + 2 = 6$ $Nilai\ minimum = -4 + 2$ $ = -4 + 2 = -2$ → E. $10$. Nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi $y = 3 - 2cos^2\ 2x$ adalah . . . . $A.\ -2\ dan\ -3$ $B.\ 0\ dan\ -2$ $C.\ 2\ dan\ 0$ $D.\ 3\ dan\ 1$ $E.\ 5\ dan\ 3$ [Grafik Fungsi Trigonometri]$y = 3 - 2\ cos^2\ 2x$ ⇔ $y = -2\ cos^2\ 2x + 3$ $Nilai\ maksimum = 0 + 3 = 3$ $Nilai\ minimum = -2 + 3 = 1$ → D. Ingat ! jika $y = -k\ cos^2\ ax$ $Nilai\ maksimum = 0$ $Nilai\ minimum = -k$ $y = k\ cos^2\ 2x$ $Nilai\ maksimum = k$ $Nilai\ minimum = 0$ $11$. Jika $0^{\circ} ≤ x ≤ 360^{\circ}$, maka fungsi $y = sin\ x - 30^{\circ}$ akan maksimum pada $x =$ . . . . $A.\ 60^{\circ}$ $B.\ 90^{\circ}$ $C.\ 120^{\circ}$ $D.\ 150^{\circ}$ $E.\ 180^{\circ}$ [Grafik Fungsi Trigonometri]$y = sin\ x - 30^{\circ}$ Perhatikan grafik $y = sin\ x$, maksimum di titik $x = 90^{\circ}$. Grafik $y = sin\ x - 30^{\circ}$ adalah hasil dari pergeseran $y = sin\ x$ sejauh $30^{\circ}$ kekanan. Akibatnya grafik $y = sin\ x - 30^{\circ}$ akan maksimum di titik $x = 90^{\circ} + 30^{\circ} = 120^{\circ}$ → C. $12$. Jika $0^{\circ} ≤ x ≤ 120^{\circ}$, maka fungsi $y = 2\ sin\ 3x$ akan maksimum pada $x =$ . . . . $A.\ 0^{\circ}$ $B.\ 15^{\circ}$ $C.\ 30^{\circ}$ $D.\ 45^{\circ}$ $E.\ 90^{\circ}$ [Grafik Fungsi Trigonometri]$y = 2\ sin\ 3x$ Perhatikan grafik $y = sin\ x$, maksimim di titik $x = 90^{\circ}$. Grafik $y = 2\ sin\ 3x$ akan maksimum di $x = 30^{\circ}$ → C. $13$. Jika $0^{\circ} ≤ x ≤ 180^{\circ}$, maka fungsi $y = -3\ cos\ 2x$ akan minimum pada $x =$ . . . . $A.\ 0^{\circ}\ dan\ 180^{\circ}$ $B.\ 30^{\circ}\ dan\ 120^{\circ}$ $C.\ 45^{\circ}\ dan\ 135^{\circ}$ $D.\ 60^{\circ}\ dan\ 150^{\circ}$ $E.\ 90^{\circ}\ dan\ 180^{\circ}$ [Grafik Fungsi Trigonometri]$y = -3\ cos\ 2x$ Perhatikan grafik $y = cos\ x$, minimum di titik $x = 180^{\circ}$ dan maksimum di titik $x = 0^{\circ}\ dan\ x = 360^{\circ}$. Grafik $y = -cos\ x$ adalah cermin dari grafik $y = cos\ x$ terhadap sumbu $x$. Akibatnya $y = -cos\ x$ maksimum di titik $x = 180^{\circ}$ dan minimum di titik $x = 0^{\circ}\ dan\ x = 360^{\circ}$. Grafik $y = -3\ cos\ 2x$ akan maksimum di titik $x = 90^{\circ}$ dan minimum di titik $x = 0^{\circ}$ dan $x = 180^{\circ}$ → A. $14$. Jika $0^{\circ} ≤ x ≤ 180^{\circ}$, maka fungsi $y = 3\ sin\ 2x - 30^{\circ}$ mempunyai titik maksimum di titik . . . . $A.\ 30^{\circ}, 3$ $B.\ 45^{\circ}, 3$ $C.\ 60^{\circ}, 3$ $D.\ 75^{\circ}, 3$ $E.\ 90^{\circ}, 3$ [Grafik Fungsi Trigonometri]$y = 3\ sin\ 2x - 30^{\circ}$ ⇔ $y = 3\ sin\ 2x - 15^{\circ}$ Perhatikan grafik $y = sin\ x$, maksimum di titik $x = 90^{\circ}$. Grafik $y = sin\ 2x$ akan maksimum di titik $x = 45^{\circ}$. Grafik $y = 3\ sin\ 2x - 15^{\circ}$ adalah hasil pergeseran dari grafik $y = sin\ 2x$ sejauh $15^{\circ}$ ke kanan. Akibatnya $y = 3\ sin\ 2x - 15^{\circ}$ akan maksimum di titik $x = 45^{\circ} + 15^{\circ} = 60^{\circ}$ → C. $15$. Jika $0^{\circ} ≤ x ≤ 180^{\circ}$, maka fungsi $y = 2\ cos\ 2x + 60^{\circ} - 1$ mempunyai titik minimum di titik . . . . $A.\ 30^{\circ}, -3$ $B.\ 45^{\circ}, -3$ $C.\ 60^{\circ}, -3$ $D.\ 75^{\circ}, -3$ $E.\ 90^{\circ}, -3$ [Grafik Fungsi Trigonometri]$y = 2\ cos\ 2x + 60^{\circ} - 1$ ⇔ $y = 2\ cos\ 2x + 30^{\circ} - 1$ Nilai minimum $= -2 - 1 = -3$ → $y = -3$. Grafik $y = 2\ cos\ 2x$ akan minimum di titik $x = 90^{\circ}$. Grafik $y = 2\ cos\ 2x + 30^{\circ} - 1$ adalah pergeseran grafik $y = 2\ cos \ 2x$ sejauh $30^{\circ}$ ke kiri. Akibatnya Grafik $y = 2\ cos\ 2x + 30^{\circ} - 1$ akan minimum di titik $x = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ → C. $16$. Jika $0^{\circ} ≤ x ≤ 120^{\circ}$, maka fungsi $y = -2\ cos\ 3x - 60^{\circ} + 2$ mempunyai titik minimum di titik . . . . $A.\ 40^{\circ}, -2$ $B.\ 20^{\circ}, 0$ $C.\ 40^{\circ}, 0$ $D.\ 90^{\circ}, -2$ $E.\ 120^{\circ}, 0$ [Grafik Fungsi Trigonometri]$y = -2\ cos\ 3x - 60^{\circ} + 2$ ⇔ $y = -2\ cos\ 3x - 20^{\circ} + 2$ Nilai minimum $= -2 + 2 = -2 + 2 = 0$. Grafik $y = -2\ cos\ 3x$ akan minimum di titik $x = 0^{\circ}\ dan\ x = 120^{\circ}$. Grafik $y = -2\ cos\ 3x - 20^{\circ} + 2$ adalah hasil pergeseran dari grafik $y = -2\ cos\ 3x$ sejauh $20^{\circ}$ ke kanan. Akibatnya $y = -2\ cos\ 3x - 20^{\circ} + 2$ akan minimum di titik $x = 20^{\circ}\ dan\ x = 140^{\circ}$. Jadi titik minimumnya adalah $20^{\circ}, 0\ dan\ 140^{\circ}, 0$ → B. $17$. Nilai minimum dari fungsi $y = 2 + cos^{2}3x$ dicapai pada $x =$ . . . . $A.\ 30^{\circ}$ $B.\ 45^{\circ}$ $C.\ 60^{\circ}$ $D.\ 75^{\circ}$ $E.\ 90^{\circ}$ [Grafik Fungsi Trigonometri]$y = 2 + cos^{2}\ 3x$ $y = cos^{2}\ x$ minimum di titik $x = 90^{\circ}\ dan\ x = 270^{\circ}$ → lihat gambar ! Berati $y = cos^{2}3x$ akan minimum di titik $x = 30^{\circ}\ dan\ x = 90^{\circ}$ → A. $18$. Periode dari fungsi $y = 2\ sin\ 3x - 30^{\circ}$ adalah . . . . $A.\ 90^{\circ}$ $B.\ 120^{\circ}$ $C.\ 150^{\circ}$ $D.\ 180^{\circ}$ $E.\ 360^{\circ}$ [Grafik Fungsi Trigonometri]$Periode = \dfrac{360^{\circ}}{3} = 120^{\circ}$ → B. $19$. Periode dari fungsi $y = -2\ cos\ 2x$ adalah . . . . $A.\ 90^{\circ}$ $B.\ 120^{\circ}$ $C.\ 150^{\circ}$ $D.\ 180^{\circ}$ $E.\ 360^{\circ}$ [Grafik Fungsi Trigonometri]$Periode = \dfrac{360^{\circ}}{2} = 180^{\circ}$ → D. $20$. Periode dari fungsi $y = -3\ sin\ 4x + 20^{\circ}$ adalah . . . . $A.\ 90^{\circ}$ $B.\ 120^{\circ}$ $C.\ 150^{\circ}$ $D.\ 180^{\circ}$ $E.\ 360^{\circ}$ [Grafik Fungsi Trigonometri]$Periode = \dfrac{360^{\circ}}{4} = 90^{\circ}$ → A. $21$. Periode dari fungsi $y = 5\ cos\ 6x - 30^{\circ}$ adalah . . . . $A.\ 30^{\circ}$ $B.\ 60^{\circ}$ $C.\ 90^{\circ}$ $D.\ 120^{\circ}$ $E.\ 180^{\circ}$ [Grafik Fungsi Trigonometri]$y = 5\ cos\ 6x - 30^{\circ}$ $y = 5\ cos\ 6x - 5^{\circ}$ $Periode = \dfrac{360^{\circ}}{6} = 60^{\circ}$ → B. $22$. Fungsi $y = 2\ sin\ 3x$ akan bernilai nol jika $x =$ . . . . $A.\ 30^{\circ}$ $B.\ 45^{\circ}$ $C.\ 60^{\circ}$ $D.\ 90^{\circ}$ $E.\ 105^{\circ}$ [Grafik Fungsi Trigonometri]$y = sin\ x$ akan bernilai nol jika $x = 0^{\circ}$, $x = 180^{\circ}$, dan $x = 360^{\circ}$. Berarti $y = 2\ sin\ 3x$ akan bernilai nol jika $x = 0^{\circ}$, $x = 60^{\circ}$, dan $x = 120^{\circ}$ → C. $23$. Persamaan dari grafik fungsi di bawah adalah . . . . $A.\ y = -2\ sin\ 2x$ $B.\ y = 2\ cos\ x$ $C.\ y = 2\ sin\ 2x - 30^{\circ}$ $D.\ y = -2\ cos\ 2x$ $E.\ y = 2\ sin\ 2x$ [Grafik Fungsi Trigonometri]$Periode = 180^{\circ}$ $Amplitudo = 2$ Jika diperhatikan, grafiknya adalah cermin dari grafik $y = sin\ 2x$ terhadap sumbu $x$. Berarti persamaan grafiknya adalah $y = -2\ sin\ 2x$. → A. $24$. Persamaan dari grafik di bawah adalah . . . . $A.\ y = sin\ x$ $B.\ y = cos\ x - 30^{\circ}$ $C.\ y = sin\ x - 30^{\circ}$ $D.\ y = cos\ x + 30^{\circ}$ $E.\ y = sin\ x + 30^{\circ}$ [Grafik Fungsi Trigonometri]$Periode = 360^{\circ}$ $Amplitudo = 1$ Grafiknya adalah grafik dari $y = sin\ x$ digeser sejauh $30^{\circ}$ ke kanan. Berarti persamaannya adalah $y = sin\ x - 30^{\circ}$ → C. $25$. Persamaan dari grafik dibawah adalah . . . . $A.\ y = 2\ sin\ 2x - 30^{\circ}$ $B.\ y = 2\ cos\ 2x - 30^{\circ}$ $C.\ y = -2\ cos\ 2x - 30^{\circ}$ $D.\ y = -2\ sin\ 2x - 30^{\circ}$ $E.\ y = -2\ cos\ 2x - 30^{\circ}$ [Grafik Fungsi Trigonometri]$Periode = 180^{\circ}$ $Amplitudo = 2$ Grafiknya adalah grafik dari $y = -2\ cos\ 2x$ digeser $30^{\circ}$ ke kanan. Berarti persamaannya adalah $y = -2\ cos\ 2x - 30^{\circ}$ → C. $26$. Persamaan dari grafik di bawah adalah . . . . $A.\ y = 2\ cos\ \left\dfrac{\pi}{2} + x\right$ $B.\ y = 2\ cos\ \left\dfrac{\pi}{2} - x\right$ $C.\ y = 2\ sin\ \left\dfrac{\pi}{2} + x\right$ $D.\ y = 2\ sin\ \left\dfrac{\pi}{2} - 2x\right$ $E.\ y = 2\ sin\ \left\dfrac{\pi}{2} + 2x\right$ [Grafik Fungsi Trigonometri]$Periode = 360^{\circ}$ $Amplitudo = 2$ Grafiknya adalah grafik dari $y = cos\ x$, tetapi tidak ada pada opsi. Ingat ! grafik dari $y = k\ cos\ x$ adalah grafik dari $y = k\ sin\ x$ digeser sejauh $90^{\circ}$ ke kiri. Dengan kata lain $y = 2\ cos\ x ⇔ y = 2\ sin\ \leftx + \dfrac{π}{2}\right$ → C. $27$. Persamaan dari grafik di bawah adalah . . . . $A.\ y = 2\ sin\ x$ $B.\ y = -2\ sin\ 2x$ $C.\ y = 2\ sin\ \left\dfrac{π}{2} + 2x\right$ $D.\ y = -2\ cos\ \left\dfrac{π}{2} + 2x\right$ $E.\ y = 2\ cos\ \left\dfrac{π}{2} + 2x\right$ [Grafik Fungsi Trigonometri]$Periode = 180^{\circ}$ $Amplitudo = 2$ Sangat jelas bahwa grafiknya adalah grafik dari $y = 2\ sin\ 2x$, tetapi tidak ada pada opsi. Ingat ! A. Grafik dari $y = 2\ sin\ 2x$ adalah grafik dari $y = 2\ cos\ 2x$ di geser sejauh $\dfrac{\pi}{4}$ ke kanan. Berarti $y = 2\ sin\ 2x ⇔ y = 2\ cos\ 2\leftx - \dfrac{\pi}{4}\right$ tetapi tidak ada juga pada opsi. B. Grafik dari $y = 2\ sin\ 2x$ adalah grafik dari $y = -2\ cos\ 2x$ di geser sejauh $\dfrac{\pi}{4}$ ke kiri. Berarti $y = 2\ sin\ 2x ⇔ y = - 2\ cos\ 2\leftx + \dfrac{\pi}{4}\right$ $⇔ y = - 2\ cos\ \left2x + \dfrac{\pi}{2}\right$ → D. 28. Persamaan dari grafik di bawah adalah . . . . $A.\ y = tan\ 2x$ $B.\ y = 2\ tan\ 2x$ $C.\ y = tan\ \dfrac12x$ $D.\ y = -2\ tan\ x$ $E.\ y = 2\ tan\ x$ [Grafik Fungsi Trigonometri]$Periode = 90^{\circ}$ → $y = k\ tan\ 2x$. Masukkan $x = 22,5^{\circ}$ dan $y = 2$ kedalam persamaan $y = k\ tan\ 2x$, didapat $k = 2$. Maka persamaannya adalah $y = 2\ tan\ 2x$ → B. $29$. Persamaan dari grafik di bawah adalah . . . . $A.\ y = sin\ 2x - 30^{\circ} + 1$ $B.\ y = sin\ 2x - 30^{\circ} + 1$ $C.\ y = cos\ 2x - 30^{\circ} + 1$ $D.\ y = cos\ 2x - 30^{\circ} + 1$ $E.\ y = 2\ sin\ 2x + 30^{\circ} + 1$ [Grafik Fungsi Trigonometri]$Periode = 180^{\circ}$ $Amplitudo = 1$ Sangat jelas terlihat bahwa grafiknya adalah grafik dari $y = sin\ 2x$ digeser sejauh $30^{\circ}$ ke kanan, kemudian digeser $1$ satuan ke atas. Berarti persamaannya adalah $y = sin 2x - 30^{\circ} + 1$ → A. $30$. Persamaan dari grafik di bawah adalah . . . . $A.\ y = cos\ 2x - 60^{\circ}$ $B.\ y = sin\ 2x - 60^{\circ}$ $C.\ y = cos\ 2x - 60^{\circ}$ $D.\ y = sin\ 2x - 60^{\circ}$ $E.\ y = cos\ 2x - 60^{\circ}$ [Grafik Fungsi Trigonometri]$Periode = 180^{\circ}$ $Amplitudo = 1$ Grafiknya adalah grafik dari $y = cos\ 2x$ digeser $30^{\circ}$ ke kanan. Berarti persamaannya adalah $y = cos\ 2x - 30^{\circ}$ $y = cos\ 2x - 60^{\circ}$ → A. Demikianlah Soal dan Pembahasan Grafik Fungsi Trigonometri, semoga bermanfaat. Selamat belajar ! Disusun oleh Joslin Sibarani Alumni Teknik Sipil ITBSHARE THIS POST

Postinganini membahas contoh soal turunan aturan rantai dan pembahasannya. Misalkan y = f(U) dan U = g(x), maka turunan y terhadap x dirumuskan dengan : y' = f'(U) . g'(x). Untuk lebih jelasnya, dibawah ini diberikan beberapa contoh soal turunan aturan rantai dan pembahasannya. Contoh soal aturan rantai pilihan ganda. Contoh soal 1 (UN 2018)

Semogabermanfaat untuk dijadikan bahan belajar. Soal juga dapat diunduh melalui tautan berikut: Di video ini berisi 9 soal dan pembahasan trigonometri, kunjungi juga link di bawah ini tentang pembuktian rumus turuna fungsi trigonometrinya. Soal no.1 (sbmptn 2014 ). Ni adalah soal dn pembahasan kaulkulus ii, ya takseberpa si, tapi bole laa.

VnnyK.

8607aucttt.pages.dev/297

8607aucttt.pages.dev/748

8607aucttt.pages.dev/940

8607aucttt.pages.dev/120

8607aucttt.pages.dev/939

8607aucttt.pages.dev/397

8607aucttt.pages.dev/813

8607aucttt.pages.dev/509

soal dan pembahasan turunan fungsi trigonometri